3.1 导数的概念及运算（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第1讲　导数的概念及运算 考试要求　1.导数的概念及其实际背景(A级要求)；2.导数的几何意义(B级要求)；3.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝的导数(A级要求)；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(B级要求)；5.求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b))的导数(B级要求).，y＝x2，y＝x3，y＝ 知 识 梳 理 1.导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).＝ 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x). 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0).′＝ 5.复合函数求导的运算法则 一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　) (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　　) 解析　(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而(f(x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错误.[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:学科网] (2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错误. (4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错误.[来源:学科网ZXXK] 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(选修2－2P14练习2改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________. 解析　由题意知机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－. ＝，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－ 答案　 3.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________. 解析　由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e. 答案　e 4.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________. 解析　由题意知y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2. 答案　y＝2x－2 5.(2018·南通、泰州调研)若曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________. 解析　y′＝ln x＋1，所以曲线在x＝1和x＝t处的切线的斜率分别为1和1＋ln t，所以1·(1＋ln t)＝－1，所以t＝e－2. 答案　e－2 考点一　导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin )； (1－2cos2 (3)y＝； (4)y＝ln . 解　(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11. (2)因为y＝sincos x. (sin x)′＝－′＝－sin x，所以y′＝＝－ (3)y′＝