3.2 利用导数研究函数的单调性（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第2讲　利用导数研究函数的单调性 考试要求　1.函数单调性与导数的关系(A级要求)；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求). 知 识 梳 理 1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导， (1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间. 3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导得到f′(x)； (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.(　　) 解析　(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f′(x)≥0，且不恒为0，故①错误.(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(x)≥0，故(3)错误. 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________. 解析　∵f′(x)＝2x－(x＞0).＝ ∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数. 答案　(0，1) 3.在区间(－1，1)内不是增函数的函数是________(填序号). ①y＝ex＋x；②y＝sin x；③y＝x3－6x2＋9x＋2；④y＝x2＋x＋1. 解析　①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在区间(－1，1)内是增函数； ②y＝sin x，y′＝cos x，在区间(－1，1)内是增函数； ③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，在区间(－1，1)内是增函数； ④y＝x2＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间内y′<0，在区间(－1，1)内不单调.内y′>0，在区间 答案　④ 4.(2019·南师大附中等四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋1在[－1，1]上单调递减，则a的取值范围是________. 解析　由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax－a2，而f(x)在[－1，1]上单调递减，则有即a≤－3或a≥3. 解得 答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞) 5.(2019·南京、盐城模拟)函数y＝f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________. 解析　设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0. F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)>0， 即函数F(x)在R上是单调增函数， 则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)， 故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞). 答案　(－1，＋∞) 考点一　讨论函数的单调性[来源:学科网ZXXK] 【例1】 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数.[来源:Zxxk.Com] (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. 解　(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞). 此时f′(x)＝，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0. .可得f′(1)＝ (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).[来源:Z|xx|k.Com] f′(x)＝. ＝＋ 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1). ①当a＝－≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.时，Δ＝0，f′(x)＝ ②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0， f′(x)＜0，函数f