3.3 利用导数研究函数的最(极)值（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第3讲　利用导数研究函数的最(极)值 考试要求　1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(A级要求)；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求). 知 识 梳 理 1.函数的极值 若在函数y＝f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极大值，记作y极大值＝f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极小值，记作y极小值＝f(x0). 2.求函数极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化，若f′(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点. 3.函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax＝f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin＝f(x0). 4.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间[a，b]上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　) 解析　(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f′(x)＝0是x0为极值点的必要条件. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________. 解析　∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ∴f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数. ∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2. 答案　2 3.下列函数：①y＝x3；②y＝ln(－x)；③y＝xe－x；④y＝x＋. 其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号). 解析　由题意可知②，③中的函数不是奇函数，①中函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值. 答案　④ 4.(2018·全国Ⅲ卷改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________(填序号). 解析　当x＝0时，y＝2，排除①②.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除③，故填④. 答案　④ 5.(2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________. 解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a>0时，由f′(x)>0得x>＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.＝－上单调递增，又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f上单调递减，在，则f(x)在，由f′(x)<0得0<x< 答案　－3 考点一　利用导数研究函数的极值 角度1　求函数的极值 【例1－1】 已知函数f(x)＝ax2，a∈R. x3－ 设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 解　因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x， 所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x ＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x