3.5 导数的综合应用——解决函数零点问题（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第5讲　导数的综合应用——解决函数零点问题 知 识 梳 理 1.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： a的符号 零点个数 充要条件 a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值) 一个 f(x1)＜0或f(x2)>0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0 a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值) 一个 f(x2)＜0或f(x1)>0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0 2.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下： ①转化为形如f(x1)·f(x2)＜0的不等式：若y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内至少有一个零点； ②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f(x))转化为求y＝f(x)的值域问题； ③数形结合：将问题转化为y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题. (2)研究两条曲线的交点个数的基本方法 ①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. ②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数. 诊 断 自 测 1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为________. 解析　设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1. 答案　1 2.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________. 解析　f(x)有唯一正零点x0，等价于方程ax3－3x2＋1＝0有唯一正根x0，即a＝有唯一正根x0. － 令g(x)＝， ，g′(x)＝－ ∴g(x)在(－∞，－1)上递减，(－1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，＋∞)上递减. 又g(－1)＝－2，g(1)＝2，且当x<－1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0， ∴g(x)的大致图象如图： ∴直线y＝a与y＝g(x)有唯一交点，且横坐标x0>0，只需a<g(－1)＝－2. 答案　(－∞，－2) 3.已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1). (1)设a＝2，b＝. ①求方程f(x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值. 解　(1)①由已知可得2x＋＝2， 即2x＋＝2. ∴(2x)2－2·2x＋1＝0， 解得2x＝1，∴x＝0. ②f(x)＝2x＋＝2x＋2－x， 令t＝2x＋2－x，则t≥2. 又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2， 故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6， 即m≤t＋＝4. ≥2，又t≥2，t＋ (当且仅当t＝2时等号成立). ∴m≤＝4. 即m的最大值为4. (2)∵0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0. g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2. g′(x)＝axln a＋bxln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数. ∴g′(x)一定存在唯一的变号零点. ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点. 则g(x)的极值一定为0， 而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0.∴ab＝1. 考点一　利用图象研究函数的零点问题[来源:学科网] 【例1】 (2018·苏州期末)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________. 解析　令f(x)＝0，可得＝a， 令g(x)＝，令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(3，＋∞).＝－