4.1 弧度制与任意角的三角函数（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第1讲　弧度制与任意角的三角函数 考试要求　1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化(A级要求)； 2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(B级要求). 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角. (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限. (3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝° rad；②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝|α|r2lr＝ 3.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设P(x，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r(r>0)，则有sin α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.，tan α＝，cos α＝ (2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即： 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － (3)特殊角的三角函数值 角α α弧度数 sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° 45° 1 60° 90° 1 0 不存在 120° － － 135° － －1 150° － － 180° π 0 －1 0 270° －1 0 不存在 (4)三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点 P的坐标为(cos__α，sin__α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan α＝AT.我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.(　　) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　) (4)若α∈，则tan α＞α＞sin α.(　　) (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(　　) 解析　(1)锐角的取值范围是. (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (5)终边相同的角不一定相等. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2.(教材改编)小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________. 解析　利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角，又周角为360°，所以×15＝90°，即分针走过的角度是－90°. 答案　－90° 3.(2019·无锡调研)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________. 解析　tan α＝－⇒x＝10.＝ 答案　10 4.(教材改编)若tan α>0，sin α<0，则α在第________象限. 解析　由tan α>0，得α在第一或第三象限，又sin α<0，得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上，故α在第三象限. 答案　三 5.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________. 解析　设扇形的半径为R， 则R2×4＝2，R2＝1， R2α＝2， ∴R＝1，∴扇形的周长为2R＋α·R＝2＋4＝6. 答案　6 考点一　角的概念及其集合表示 【例1】 (1)终边在直线y＝x上的角的集合是________. (2)(2019·苏州模拟)若角θ的终边与角的终边相同的角的个数为________.角的终边相同，则在[0，2π]内终边与 解析　(1)在(0，π)内终边在直线y＝， x上的角为 ∴终边在直线y＝x上的角的集合为 {α|α＝＋kπ，k∈Z}. (2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴(k∈Z)， ＋＝ 依题意0≤， ≤k≤≤2