4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求　1.同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).＝tan α(B级要求)；2. 知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 注意：诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝.(　　)(k∈Z)，则sin α＝ 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k为奇数时，sin α＝， 当k为偶数时，sin α＝－. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________. 解析　原式＝＝3.＝ 答案　3 3.已知sin，那么cos α＝________.＝ 解析　∵sin.＝cos α，∴cos α＝＝sin 答案　 4.(2019·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝________.，θ∈ 解析　∵sin θ＋cos θ＝. ，∴sin θcos θ＝ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝. 或－ 又∵θ∈.，∴sin θ－cos θ＝－ 答案　－ 5.(2019·泰兴中学检测)已知3sin α＋4cos α＝5，则tan α＝________. 解析　由3sin α＋4cos α＝5， 两边平方得9sin2α＋24sin αcos α＋16cos2α＝25， 即9sin2α＋24sin αcos α＋16cos2α＝25(sin2α＋cos2α)， 从而16sin2α－24sin αcos α＋9cos2α＝0. 故(4sin α－3cos α)2＝0， 所以4sin α＝3cos α， 故tan α＝. 答案　 考点一　同角三角函数基本关系式及其应用 【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝________. (2)已知sin αcos α＝，则cos α－sin α的值为________.<α<，且 解析　(1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝.[来源:学科网ZXXK]，所以|a－b|＝.由题意知|tan α|＝，得|tan α|＝，sin α＝±，所以cos α＝ (2)∵， <α< ∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×， ＝ ∴cos α－sin α＝. 答案　(1)　(2) 规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 【训练1】 (1)(2019·南师大附中等四校联考)已知tan＝3，则sin θcos θ－3cos2θ的值为________. (2)(2019·苏州模拟)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________. 解析　(1)由于tan，所以＝3，解得tan θ＝＝＝ sin θcos θ－3cos2θ＝＝－2. ＝ (2