4.8 与三角函数有关的应用题（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第8讲　与三角函数有关的应用题 考试要求　1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用，会运用三角函数知识解决实际中的优化问题. 知 识 梳 理 1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型. (3)求解：利用三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2.在建立三角函数模型求解与实际生活有关的优化问题时，常以三角函数的定义、图象与性质、三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载体，以不等式、导数为工具进行求解，但结果要符合实际意义. 诊 断 自 测 1.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是________. 解析　∵T＝＝80.，∴f＝＝ 答案　80 2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin时，电流I＝________.，则当t＝ 解析　直接将t＝代入计算即可. 当t＝.＝＝5sin 时，I＝5sin 答案　 A 3.(2019·苏、锡、常、镇四市调研)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.计划在 (1)当θ＝时，求∠OPQ的大小； (2)当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 解　(1)设∠OPQ＝α，在Rt△OAQ中，OA＝3， ∠AQO＝π－∠AQC＝π－， ，所以OQ＝＝ 在△OPQ中，OP＝3，∠POQ＝， ＝－－θ＝ 由正弦定理得， ＝ 即， ＝ 所以， ＝sinsin α＝sin 则sin α， cos α＋sin α＝cos α－cos sin α＝sin 所以sin α＝cos α， 因为α为锐角，所以cos α≠0， 所以tan α＝. ，得α＝ (2)设∠OPQ＝α，在△OPQ中，OP＝3，∠POQ＝－θ， 由正弦定理得， ＝ 即， ＝ 所以sin α＝sin ＝sin＝cos(α－θ) ＝cos αcos θ＋sin αsin θ， 从而(－sin θ≠0，cos α≠0， －sin θ)sin α＝cos αcos θ，其中 所以tan α＝， 记f(θ)＝， ，θ∈，则f′(θ)＝ 令f′(θ)＝0，得sin θ＝， 使得sin θ0＝，存在唯一θ0∈ 当θ∈(0，θ0)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增； 当θ∈时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减， 所以当θ＝θ0时，f(θ)最大，即tan ∠OPQ最大， 又∠OPQ为锐角，从而∠OPQ最大，此时sin θ＝. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为. 考点一　三角函数在物理中的应用 【例1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ 解　(1)利用“五点法”可作出其图象(列表略). (2)因为当t＝0时，s＝6sin ＝3， 所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm. (4)因为T＝＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 规律方法　三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法. 【训练1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220来表示，求： sin (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解　(1)当t＝0时，E＝110 V.[来源:学§科§网Z§X§X§K](V)，即开始时的电压为110 (2)T＝(s)，即时间间隔为0.02 s. ＝ (3)电压的最大值为220 s时第一次取得最大值.，即t＝＝ V，当100πt＋ 考点二　三角函数在实际生活中的应用 角度1　以三角函数定义为载体的三角问题 【例2－1】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间