河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期入学测试数学试题（pdf版）

21 届高二上期入学测试数学试题答案 一、单项选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13．2 3或 3 14． an＝     1，n＝1， n2 n－12 ，n≥2，n∈N*. 15． 16． ①②④ 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17．解：（1）由 1 1a  ，把 1n  代入 1 ( 1) ( 1) ( *) 2 n n n n nS n S n N      ，得 2 12 1S S  ， 2 11 2 3S S    ， 2 2 1 2a S a    。 （2）由 1 ( 1) ( 1) ( *) 2 n n n n nS n S n N      ，得 1 1 1 2 n nS S n n     ，所以数列{ }n S n 是首 项为 1，公差为 1 2 的等差数列， 1 ( 1) 2 nS n n    ， 1 ( 1) 2 nS n n   。当 2n  时， 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 2 n n na S S n n n n n        ，而 1 1a  满足 na n ，故数列{ }na 的通项 公式为 na n 18．解：解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°， 又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°．所以 AD＝CD＝AC＝ 3 2 a． 在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得 BD sin∠BCD ＝ CD sin∠DBC ， 所以 BD＝CD· sin∠BCD sin∠DBC ＝ 3 2 a· 6＋ 2 4 2 2 ＝ 3＋ 3 4 a， 在△ADB 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝ 3 4 a2＋      3＋ 3 4 a 2－2· 3 2 a· 3＋ 3 4 a· 3 2 ＝ 3 8 a2，所以 AB＝ 6 4 a． 解法二：在△BCD 中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得 BC sin30° ＝ CD sin45° ，则 BC＝ CDsin30° sin45° ＝ 6 4 a， 在△ACD 中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD 为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC， 所以 BD 为正△ACD 的中垂线，所以 AB＝BC＝ 6 4 a． 19. 20. 解:   由    2 3 2cos cos sin sin cos 2 5 A B B A B B A C        ,得     3 cos 1 cos sin sin cos 5 A B B A B B B         , 即     3 cos cos sin sin 5 A B B A B B     , 则   3 cos 5 A B B    ,即 3 cos 5 A     由 3 cos ,0 5 A A     ,得 4 sin 5 A  , 由正弦定理,有 sin sin a b A B  ,所以, sin 2 sin 2 b A B a   . 由题知a b ,则 A B ,故 4 B   . 根据余弦定理,有   2 2 2 34 2 5 2 5 5 c c            , 解得 1c  或 7c   (舍去). 故向量 BA在 BC 方向上的投影为 2 cos 2 BA B  #21. 解 ： ⑴ 由 2 74sin cos 2 2 2 A B C    ， 得 7 2[1 cos( )] cos 2 2 A B C    ， 2 72 2cos (2cos 1) 2 C C     ， 2(2cos 1) 0C   ， 1 cos 2 C  ；