2020版高三数学考纲学案（无答案）：考点17.选修4-5

考点17：选修4—5不等式选讲 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； ∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c； ∣ax＋b∣≥c； ∣x－a∣＋∣x－b∣≥c （3）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，能用柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大（小）值问题.[来源:Z_xx_k.Com] 1. 绝对值的三角不等式： 定理1. ∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣,当且仅当 时，等号成立. 请你给出 时定理1的几何解释？[来源:学科网] 定理2.∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣当且仅当 时，等号成立. 根据定理1∣a－b∣= ≤∣a－c∣＋∣c－b∣ 题型一.解含有绝对值的不等式 ∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c 型不等式的解法 ① 时，∣ax＋b∣≤c ∣ax＋b∣≥c 然后根据 的值解出即可. ② 时，∣ax＋b∣≤c的解集为 ∣ax＋b∣≥c的解集为 ∣x－a∣＋∣x－b∣≥c 型不等式的解法： 可分类讨论或利用绝对值的几何意义进行求解. 【例1】解不等式① ② ③ 变式1：已知函数 ． （Ⅰ）作出函数 的图像； （Ⅱ）解不等式 ． 题型二.含绝对值不等式的恒成立问题 1.分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，然后利用数形结合解决. 2.若 为常数，可利用 求最值 3.f(x)<a恒成立 f(x)max<a, f(x)>a恒成立 f(x)min>a 【例2】 若 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 变式2：若存在实数x，使 成立，则实数a的取值范围为 . 题型三.不等式的证明 1.绝对值的三角不等式：∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； ∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； 2. 基本不等式：如果a>0,b>0，那么,当且仅当a=b时，等号成立 ≥ 如果a>0,b>0，c>0那么,当且仅当a=b＝c时，等号成立≥ 【例3】 已知a,b,c都是正数，且a＋b＋c＝1,求证： (Ⅰ)≥9;＋＋ (Ⅱ)(－1)≥8－1)(－1)( 变式3：设均为正数,且,证