2020年高考数学（理）总复习：概率、随机变量及其分布（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：概率、随机变量及其分布 题型一　古典概型、几何概型及条件概率 【题型要点】 (1)古典概型中的基本事件是有限的，求解的关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，但是，在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求． (2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例解法”求概率．在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的大小确定． (3)条件概率的求法：①利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 【例1】如图，正方形ABCD内的图形自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　　 D. 【例2】．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是(　　) A. B. C. D. 【例3】．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　) A. B. C. D. 题组训练一 古典概型、几何概型及条件概率 1．某食品厂做了3种与“福”字有关的精美卡分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为(　　) A. B. C. D. 2．已知P为圆C：x2＋y2＝π2内任意一点，则点P落在函数f(x)＝sin x的图象与x轴围成的封闭区域内的概率为(　　) A．0 B．1 C. D. 3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率为0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是(　　) A. B. C. D. 题型二　互斥事件与相互独立事件的概率 【题型要点】 对于复杂事件的概率，要先辨析事件的构成，理清各事件之间的关系，并依据互斥事件概率的和，或者相互独立事件概率的积的公式列出关系式；含“至多”“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解；并注意正难则反思想的应用(即题目较难的也可从对立事件的角度考虑)． 【例4】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 题组训练二 互斥事件与相互独立事件的概率 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)． 题型三　离散型随机变量的分布列、期望与方差 【题型要点】 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值． (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解． 【例5】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布