江苏省盐城市石化中学苏教版高中数学 选修2-1 3.1.3空间向量基本定理 教案

§3.1.3 空间向量基本定理 教学目标：了解空间向量基本定理及其推论； 理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）． 教学难点：空间作图． 教学过程： 一、问题情境 1．情境引入： 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：[来源:Z.xx.k.Com] 　　①平移：将 平移成同一始点的向量． ②平行投影：过 平移后所得向量的终点分别作 平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得 在 方向上的分向量． ③依据共线向量定理，分别用 表示 在 方向上的分向量． ④求分向量的和，代入，定理得证． 2．提出问题：平面向量基本定理表明了什么？ 二、学生活动 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示． 问题：空间任一向量能用三个不共面的向量线性表示吗？ 三、建构数学 空间向量基本定理　如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序数组 ，使 证明：（存在性）设 不共面，过点 作 ； 过点 作直线 ，交平面 于点 ； 在平面 内，过 作直线 ， ， 分别与直线 、 交于点 、 ，[来源:学科网ZXXK] 于是存在三个实数 、 、 ，使 于是 所以 （唯一性）假设还存在 使 ∴ ∴ 不妨设 即 ∴ ∴ 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立． 说明： 　　（１）空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组｛ ｝可以线性表示出空间任一向量，而且表示的结果是唯一的． （２）如果三个向量 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 ，这个集合可看成是由向量 生成的，所以我们把｛ ｝叫做空间向量的一个基底， 都叫做基向量．[来源:学#科#网] 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用｛ ｝表示． （３）对于基底｛ ｝，应明确： ①空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底； ②由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 ；[来源:学科网ZX