江苏省盐城市石化中学苏教版高中数学 选修2-1 3.1.2共面向量定理 教案

§3.1.2 共面向量定理 教学目标：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； 理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； 会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用． 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．[来源:学#科#网] 教学过程： 一、问题情境 1．情境引入：上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广． 2．提出问题：在长方体 中， 与哪些向量相等？与哪些向量共面？ 二、学生活动 三、建构数学 １．共面向量 已知平面 和向量 ，作 ，如果直线 平行于 或在 内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： ． 能平移到同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． ２．共面向量定理 问题：空间任意一个向量 与两个不共线向量 ， 共面时，他们之间存在什么样的关系？ 共面向量定理　如果两个向量 不共线，那么 与向量 共面的充要条件是存在有序实数组（ ），使得 ． 证明：（充分性）设向量 不共线， 与向量 共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数 使 ． （必要性）设存在实数 使 ．取空间任意一点 ，作 ，则 ，于是点 在平面 内，向量 EMBED Equation.3 //平面 . 即 与向量 共面. 推论：空间一点 位于平面 内的充分必要条件是存在有序实数组（ ），使 ① 或对空间任一点 ，有 ② 或 ③ 上面①式叫做平面 的向量表达式． 四、数学运用 1.例题 例1．已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件： ，试判断：点 与 是否一定共面？ 解：由题意： ，∴ ， ∴ ，即 ，所以，点 与 共面． 说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 例2．已知平行四边形 ，从平面 外一点 引向量[来源:学§科§网] ， （１）求证：四点 共面； （２）平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ． 解：（１）∵四边形 是平行四边形，∴ ，[来源:学科网] ∵ ， ∴ 共面； （２）∵ 又