2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题 题型一　圆锥曲线中的定点、定值问题 【题型要点】 圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．解决这类问题的一般思路是： (1)引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等． (2)根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． (3)求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明． 【例1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值． 题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题 已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 题型二　圆锥曲线中的范围问题 【题型要点】 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 【例2】设圆F1：x2＋y2＋4x＝0的圆心为F1，直线l过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，且与圆F1相交于两点C、D，过F2作F1C的平行线交直线F1D于点E. (1)证明||EF1|－|EF2||为定值，并写出点的轨迹方程； (2)设点E的轨迹曲线与直线l交于M，N两点，过F2且与垂直的直线与圆F1交于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围． 题组训练二 圆锥曲线中的范围问题 设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 题型三　圆锥曲线中的存在性问题 【题型要点】 解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 【例3】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 题组训练三 圆锥曲线中的存在性问题 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)D是抛物线C上的动点，点E(－1,3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； (2)是否存在实数p，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 题型四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题 【题型要点】 求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．求最值方法有： (1)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． (2)通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件． 【例4】　已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝12上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T，记点T的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程； (2)设M，N是Γ上的两个动点，MN的中点H在圆x2＋y2＝1上，求原点到MN距离的最小值． 题组训练四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个