2020年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一　利用向量证明平行与垂直 【题型要点】 向量证明平行与垂直的4步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运动结果解释相关问题． 【例1】如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 题组训练一 利用向量证明平行与垂直 如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 题型二　利用空间向量求空间角 【题型要点】 1．利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关系，一定要注意线面角θ与夹角α的关系为sin θ＝|cos α|. 2．求二面角θ，主要通过两平面的法向量n，m的夹角求得，即先求|cos〈n，m〉|，再根据所求二面角是钝角还是锐角写出其余弦值．若θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n，m〉|；若θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n，m〉|. 【例2】如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2. (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； (2)求二面角E­BC­F的正弦值； (3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长． 题组训练二 利用空间向量求空间角 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值． 题型三　利用空间向量解决探索性问题 【题型要点】 利用空间向量巧解探索性问题 (1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断． (2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 【例3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点． (1)求证：C1D⊥D1E； (2)在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，说明理由． (3)若二面角B1－AE－D1的大小为90°，求AD的长． 题组训练三 利用空间向量解决探索性问题 如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB. (Ⅰ)求证：平面A′MN⊥平面A′BF； (Ⅱ)求二面角E­A′F­B的余弦值． 题型四 建立空间直角坐标系的方法 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系，依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键，下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 方法一　利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 【例4】　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值． 方法二　利用线面垂直关系构建直角坐标系 【例5】　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C，C1的一点，EA⊥EB1.已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝. 求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值． 方法三　利用面面垂直关系构建直角坐标系 【例6】　如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD. (1)求证AB⊥平面VAD； (2)求二面角A－VD－B的余弦值． 方法四　利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 【例7】　已知正四棱锥V－ABCD中，E为AC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值；