2020年高考数学（理）总复习：空间中的平行与垂直（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：空间中的平行与垂直 题型一　空间位置关系的判断 【题型要点】 (1)解决空间线面位置关系的判断问题常有以下方法：①根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；②必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． (2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及图形语言的相互转换，是解决此类问题的关键． 【例1】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 【例2】．如图，平面α⊥平面β， α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点， B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l, M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是(　　) A．当CD＝2AB时， M，N两点不可能重合 B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 题组训练一 空间位置关系的判断 1．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形， 用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　) A．有无数多个　　　　　　 B．恰有4个 C．只有1个 D．不存在 2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线 ②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线 ③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β ④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l 其中正确的命题的个数是(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 题型二　平行与垂直的证明与体积 【题型要点】 (1)平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． (2)数学思想 ①本例在证明线线垂直、线面平行时，采用了转化与化归思想． ②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系． (3)求解多面体的体积问题，如最值问题、高的问题、点面距离的问题，一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解． 【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)证明：直线BC∥平面PAD； (2)若△PAD面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积． 题组训练二 平行与垂直的证明与体积 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形， M，N分别是EF，BC的中点， AB＝2AF, ∠CBA＝60°. ①求证： DM⊥平面MNA； ②若三棱锥A－DMN的体积为，求MN的长． 题型三　空间几何中的翻折问题 【题型要点】 翻折问题的注意事项 1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图． 2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础． 3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数学特征，这是准确进行计算的基础． 【例3】已知长方形ABCD中，AD＝，AB＝2，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P－BCDE，如图所示． (1)若点M为PC的中点，求证：BM∥平面PDE； (2)当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P－BCDE的体积； (3)求证：DE⊥PC. 题组训练三 空间几何中的翻折问题 如图(1)，在五边形ABCDE中， ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若四棱锥P－ABCD的体积为2，求四面体BCDM的体积． 【专题训练】 一、选择题 1．已知m, n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是(　　) A．若m∥α， m∥β， α∩β＝n，则m∥n B．若α⊥β， m⊥α， n⊥β，则m⊥n C．若α⊥β， α⊥γ， β∩γ＝m，则m⊥α D．若α∥β， m∥α，则m∥β 2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1