2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用(解析版+原卷版)

2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用 题型一　数列求和 【题型要点】 (1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如(其中{an}是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等． (3)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和． (4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思． (5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn. (6)归纳猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明． 【例1】已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn＝(n∈N*)，若S3＝b5＋1，b4是a2和a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 【解析】　(1)∵数列{bn}的通项公式bn＝(n∈N*)，∴b5＝6，b4＝4， 设各项为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0， ∵S3＝b5＋1＝7，∴a1＋a1q＋a1q2＝7，① ∵b4是a2和a4的等比中项， ∴a2·a4＝a＝16，解得a3＝a1q2＝4，② 由①②得3q2－4q－4＝0，解得q＝2，或q＝－(舍)， ∴a1＝1，an＝2n－1. (2)当n为偶数时，Tn＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n－1)＋1]·2n－2＋n·2n－1 ＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1)＋(20＋22＋…＋2n－2)， 设Hn＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，① 2Hn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，② ①－②，得－Hn＝20＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， ∴Hn＝(n－1)·2n＋1， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋＝·2n＋. 当n为奇数，且n≥3时，Tn＝Tn－1＋(n＋1)·2n－1＝·2n－1＋＋(n＋1)·2n－1＝·2n－1＋，经检验，T1＝2符合上式， ∴Tn＝ 【反思总结】 (1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数． (3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证． 题组训练一 数列求和 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(a∈N*)． (1)求a的值及数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 【解析】　(1)∵等比数列{an}满足6Sn＝3n＋1＋a(a∈N*)，n＝1时，6a1＝9＋a； n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝3n＋1＋a－(3n＋a) ＝2×3n. ∴an＝3n－1，n＝1时也成立，∴1×6＝9＋a， 解得a＝－3，∴an＝3n－1. (2)bn＝ ＝＝(－1)n－1 当n为奇数时，Tn＝＝1＋； 当n为偶数时，Tn＝＝1－. 综上，Tn＝1＋(－1)n－1. 题型二　数列与函数的综合问题 【题型要点】 数列与函数的综合问题主要有以下两类： (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解】　(1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n， 当n＝1时，a1＝S1＝4＝4×1， ∴数列{an}的通项公式为an＝4n. (2)由点{bn，an}在函数y＝log2x的图象上得an＝log2bn，且an＝4n，∴bn＝2an＝24n＝16n，故数列{bn}是以16为首项，公比为16的等比数列． Tn＝＝. 题组训练二 数列与函数的综合问题 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n(n∈N*)． (1)求f(x)的解析式；