2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列 题型一　等差、等比数列的基本运算 【题型要点】 方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现． 【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于(　　) A．29　　　　　　　　　 B．31 C．33 D．36 【例2】．是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前10项和S10等于(　　) A．－10　　　　B．－5　　　　C．0　　　D．5 【例3】．已知递增数列{an}对任意n∈N*均满足an∈N*，aan＝3n，记bn＝a2·3n－1(n∈N*)，则数列{bn}的前n项和等于(　　) A．2n＋n B．2n＋1－1 C. D. 题组训练一 等差、等比数列的基本运算 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60则a20等于(　　) A．4　　　　B．6　　　　C．10　　　　D．12 2．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为(　　) A．152 B．135 C．80 D．16 题型二　等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解． (2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 【例4】已知数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a8·a2 008＝，则b1＋b2＋b3＋…＋b2 015等于(　　) A．log22 015 B．2 015 C．－2 015 D．1 008 2．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8等于(　　 ) A．－30 B．40 C．40或－30 D．40或－50 3．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－的最大值与最小值之和为(　　) A．－ B．－ C. D. 题组训练二 等差、等比数列的性质及应用 1．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的两根，则的值为(　　) A．2 B．4 C．±2 D．±4 2．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－<d<－，则当Sn取最大值时n的值为________． 3．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016·a2 017＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　) A．2 016　　 B．2 017 C．4 032 D．4 033 题型三　等差、等比数列的综合问题 【题型要点】 关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键． 【例3】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； (2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2)求T2n. 题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】 数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用． 【例4】　已知等差数列{an