专题2.1.1 指数与指数幂的运算重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列（新课标人教A版）

2.1.1指数与指数幂的运算重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 根式的意义】 1.次方根 定义 一般地，如果＝a，那么叫做a的次方根，其中n＞1，且nN* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2. 根式 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：(n＞1，且nN*) ①＝a. ②＝ 【知识点2 分数指数幂及其运算】 1.分数指数幂 （1）意义：＝，＝＝，其中a＞0，m，n∈N*，n＞1； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义； （3）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）＝＞0，r，sQ； （2）＝ ＞0，r，sQ； （3）＝＞0，r，sQ． 3．无理数指数幂 　　一般地，无理数指数幂(＞0，是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【知识点3 化简求值的方法与技巧】 （1） 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算. （2） 结果必须化为最简的形式. （3） 巧妙公式变形：完全平方公式，立方和、立方差等. 【考点1 根式的化简】 【例1】（2019秋•信阳期中）式子经过计算可得到　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2019秋•中原区校级期中）当时，　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2019秋•南关区校级月考）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）把根号外的移到根号内等于　　 A． B． C． D． 【考点2 根式与分数指数幂互化】 【例2】（2019秋•新罗区校级月考）将根式化为分数指数幂是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2019秋•桐庐县期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】（2019秋•城关区校级期中）若，则用根式形式表示，用分数指数幂表示分别为和．　　 A．， B．， C．， D．， 【考点3 多重根式的化简】 【例3】（2019秋•大武口区校级期中）的分数指数幂表示为　　 A． B． C． D．都不对 【变式3-1】（2019秋•景泰县校级期中）等于　　 A． B．2 C． D．2 【变式3-2】（2019秋•凌源市月考）已知，则化为　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2019秋•峨山县校级期中）用分数指数幂表示，为　　 A． B． C． D． 【考点4 根式与分数指数幂的混合运算】 【例4】（2019秋•巴宜区校级期中） （1） （2） 【变式4-1】（2019秋•鸠江区校级期中） （1）化简：； （2）求值：． 【变式4-2】（2019秋•温江区校级月考）计算： （1）； （2）． 【变式4-3】（2019秋•石河子校级月考）计算下列各式的值： （1）， （2）． 【考点5 利用整体代换思想求值】 【例5】（2019秋•凌源市月考）已知．求： （1）； （2）． 【变式5-1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）若，求的值． 【变式5-2】（2019秋•越秀区校级月考）已知，且，求的值． 【变式5-3】（2018秋•湛江校级月考）已知，求的值． 【考点6 幂的综合应用】 【例6】已知，且，求证：． 【变式6-1】（2019秋•临沂期中）已知，． （1）求证：是奇函数，并求的单调区间； （2）分别计算（4）（2）（2）和（9）（3）（3）的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明． 【变式6-2】（2019秋•双桥区校级期末）设函数，若，试求： （1）求（a）的值； （2）求的值． 【变式6-3】设正整数、、和实数、、、满足：，，求、、的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2.1.1指数与指数幂的运算重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 根式的意义】 1.次方根 定义 一般地，如果＝a，那么叫做a的次方根，其中n＞1，且nN* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2. 根式 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫