专题2.4 等比数列-学易试题君之同步课堂帮帮帮2019-2020学年高二数学人教版（必修5）

2.4 等比数列 一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． 定义也可叙述为：在数列中，若为常数且，则是等比数列． 二、等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么____________叫做与的等比中项． 三、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是． 四、等比数列与指数函数 1．等比数列的图象 等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），的图象如下图所示． 2．等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为，则 ①当或时，是______________数列； ②当或时，是______________数列； ③当时，为常数列； ④当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 一、同一常数 二、 三、 四、递增 递减 帮—重点 等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用 帮—难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题 帮—易错 对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件 1．等比数列的判定与证明 判断数列是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断是否为常数； （2）等比中项法：判断是否成立； （3）通项公式法：若数列的通项公式形如，则数列是等比数列． （1）若的通项公式为，试判断数列是否为等比数列． （2）若成等比数列，均不为零，求证：成等比数列． 【答案】（1）是等比数列，证明见解析；（2）成等比数列，证明见解析． 【解析】（1），4为非零常数，由定义可知是等比数列． （2）由成等比数列，可设， 因为均不为零，所以，所以成等比数列． 【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可． 2．等比数列的通项公式及应用 （1）在等比数列中，若则______________； （2）在等比数列中，已知若，则______________． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方法1：因为，所以，两式相除得，即， 于是，所以． 方法2：因为，所以，即