专题2.5 等比数列的前n项和-学易试题君之同步课堂帮帮帮2019-2020学年高二数学人教版（必修5）

2.5 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前项和的公式为 ． 二、等比数列前n项和公式的函数特性 1．当公比______________时，因为，所以是关于的正比例函数， 则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点． 2．当公比______________时，等比数列的前项和公式是，即， 设，则上式可写成的形式， 则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列前n项和的性质 设等比数列的前n项和为，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质： （1）当时，______________；当时，． （2）． （3）若项数为，则，若项数为，则______________． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 一、 二、 三、 帮—重点 等比数列前n项和公式的应用、基本量的计算 帮—难点 等比数列前n项和的性质及应用、与等差数列的综合问题、数列求和问题 帮—易错 运用前n项和公式时忽略对公比的讨论 1．等比数列的前n项和的相关计算问题 在等比数列问题中共涉及五个量：及，利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用． （1）已知等比数列是递增数列，是的前n项和，若，是方程的两个根，则______________； （2）在等比数列中，公比为，前n项和为，若，，则______________，______________． 【答案】（1）364；（2），． 【解析】（1）因为，是方程的两个根，且是递增数列， 所以，，则公比，所以． （2）方法1：由于，所以，由，，可得， 可得，解得，代入得， 所以，． 方法2：因为，且，，所以，解得，由，解得， 所以，． 【名师点睛】本题中，第（2）问中的方法1使用了求和公式，因此要对公比q是否为1作出判断，而方法2避开了使用求和公式，则避免了这一判断．在使用等比数列前n项和公式时，一定要先确定公比q是否等于1，当无法确定时，要对q是否为1作分类讨论． 2．等比数列的前n项和性质的应用 已知等比数列