专题2.6 指数与指数函数（讲）-2020年高考数学（文）一轮复习讲练测

专题2.6 指数与指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数的图象；， 4.体会指数函数是一类重要的函数模型。 知识点一 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(＝|a|＝＝a，当n为偶数时，有意义)；当n为奇数时，)n＝a(a使 知识点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点三 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【特别提醒】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 考点一　指数幂的运算 【典例1】（2019·河北邯郸一中模拟）化简－(0.01)0.5＋2－2· 【方法技巧】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟） 化简 [(0.064－π0；－)－2.5] 考点二 指数函数的图像及其应用 【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟） 函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 【变式2】 （2019·山西平遥中学模拟）已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 考点三 比较指数式的大小 【典例3】【2019年高考天津文数】已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小； 【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f(x)＝2x－2－x，a＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)，c＝log2，b＝ A．f(b)＜f(a)＜f(c)　　 B．f(c)＜f(b)＜f(a) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(c)＜f(a) 考点四 解简单的指数方程或不等式 【典例4】（2019·河北唐山一中模拟）已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解； 【变式4】（2019·安徽马鞍山二中模拟） 设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________． 考点五 指数函数性质的综合应用 【典例5】（2019·江西鹰潭一中模拟）已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 【