2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题（解析版+原卷版） (共2份打包)

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题 题型一　利用导数讨论函数零点的个数 【题型要点解析】 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．1.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a>0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ (1)求函数f(x)的极值； (2)若g(x)＝xf′(x)，且存在x∈[1,2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围； (3)若g(x)＝ln x，试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数． 题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数 已知函数f(x)＝lnx－ax＋a－2，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a<0时，试判断g(x)＝xf(x)＋2的零点个数． 题型二　由函数零点个数求参数的取值范围 【题型要点解析】 研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用． 已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e2，f(e2))处的切线与直线2x＋y＝0垂直(其中e为自然对数的底数)． (1)求f(x)的解析式及单调减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－无零点，求k的取值范围． 题组训练二 由函数零点个数求参数的取值范围 已知函数f(x)＝ln x－ax(ax＋1)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点，求实数a的取值范围． 题型三　利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解 【题型要点解析】 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：　　 (1)在该区间上构造与方程相应的函数； (2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性； (3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号； (4)作出结论． 已知函数f(x)＝(x2－2x)ln x＋ax2＋2. (1)当a＝－1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，设函数g(x)＝f(x)－x－2，且函数g(x)有且仅有一个零点，若e－2<x<e，g(x)≤m，求m的取值范围． 题组训练三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解 已知y＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，t∈R. (1)当x为常数时，t在区间变化时，求y 的最小值φ(x)； (2)证明：对任意的t∈(0，＋∞)，总存在x0∈(0,1)，使得y＝0. 【专题训练】 1．已知函数f(x)＝＋ax，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若a＝2，求函数f(x)的极小值； (3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围． 2．已知f(x)＝2xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图象在点P(－1，g(－1))处的切线方程； (3)已知不等式f(x)≤g′(x)＋2恒成立，若方程aea－m＝0恰有两个不等实根，求m的取值范围． 3．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围； (3)求证：a2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件． ( 1 ) $$2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题 题型一　利用导数讨论函数零点的个数 【题型要点解析】 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．1.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a>0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ (1)求函数f(x)的极值； (2)若g(x)＝xf′(x)，且存在x∈[1,2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围； (3)若g(x)＝ln x，试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数． 【解】　(1)∵函数f(x)＝ax3－3x2＋1，∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝，∵a>0，∴x1<x2，列表