第2章 第2讲 函数的单调性与最值 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第2讲　函数的单调性与最值 一、选择题 1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　)[来源:学*科*网Z*X*X*K] A.－2 B.2 C.－6 D.6 解析　由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－＝3，∴a＝－6.，＋∞)，令－ 答案　C 2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)[来源:Z+xx+k.Com] A.y＝ B.y＝cos x[来源:学#科#网Z#X#X#K] C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x 解析　∵y＝在(－1，1)上是减函数.与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝ 答案　D 3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，在区间[－2，2]上的最大值等于(　　) A.－1 B.1 C.6 D.12 解析　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1<x≤2时，f(x)＝x3－2. ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 答案　C 4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝ f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c 解析　∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f <f(3)，即b<a<c.，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f ＝f 答案　B 5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9] D.(0，8) 解析　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8<x≤9. 答案　B 二、填空题 6.(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________. 解析　由题意知g(x)＝ 函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1). 答案　[0，1) 7.(2017·石家庄调研)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________. 解析　由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案　3 8.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 答案　(－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题[来源:Z*xx*k.Com] 9.已知函数f(x)＝(a>0，x>0).－ (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在，求a的值.上的值域是 (1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0， ∵f(x2)－f(x1)＝>0，＝－＝－ ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. (2)解　∵f(x)在上是单调增函数，[来源:Zxxk.Com]，又由(1)得f(x)在上的值域是 ∴f .，f(2)＝2，易知a＝＝ 10.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).[来源:学#科#网Z#X#X#K] (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域； (2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0， 则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－.＝(x1－x2) ∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.[来源:Z#xx#k.Com] ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]. (2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x＝1时取得最大值2－a； 当a＜0时，f(x)＝2x＋，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 当≥1，即a∈(－∞，－