第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第3讲　函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝ xsin x为偶函数. 答案　B 2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析　易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数， 又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数. 答案　A 3.已知函数f(x)＝x，若f(x1)<f(x2)，则(　　)[来源:学§科§网] A.x1>x2 B.x1＋x2＝0 C.x1<x2 D.x<x 解析　∵f(－x)＝－x＝f(x). ∴f(x)在R上为偶函数， f′(x)＝ex－，＋x ∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)， ∴|x1|<|x2|，∴x.<x 答案　D 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解析　由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3. 答案　B 5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析　∵f(x＋1)为偶函数， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 答案　A 二、填空题 6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 解析　由于f(－x)＝f(x)， ∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax， 化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0， ∴a＝－. 答案　－ 7.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝＝________.[来源:学,科,网]＋f 则f 解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数， 所以f ＝－f ＝－f ＋f ＝f ＋f ＝f ＋f －.＝＋sin 答案　 8.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f ＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________. 解析　由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f <x<0.或－＝0，∴f(x)>0时，x>＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f 答案　 三、解答题 9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学§科§网] 解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x). 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x). 又f(x)的定义域为R， ∴f(x)是偶函数.[来源:学,科,网Z,X,X,K] (2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x)＝f(－x)＝x； 进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 10.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值；[来源:学|科|网] (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x). 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合f(x)的图象知所以1<a≤3