第2章 第8讲 函数与方程、函数的应用 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第8讲　函数与方程、函数的应用 一、选择题 1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(－2，－1) D.(－1，0) 解析　由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0， ∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点. 答案　D 2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B.－2，0 C. D.0 解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0. 答案　D 3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2)[来源:学科网] C.(0，3) D.(0，2) 解析　因为函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－ 答案　C 4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　) A.5 B.8 C.9 D.10 解析　∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝，，∴f(t)＝a·ln 因此，当k min后甲桶中的水只有 L时， f(k)＝a·，[来源:Z.xx.k.Com]＝a，即＝ ∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案　A[来源:学&科&网] 5.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 答案　C 二、填空题[来源:Zxxk.Com] 6.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________. 解析　∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1， ∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2) ＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.[来源:学。科。网] 由此可得 ∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2. 答案　－2　1 7.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 解析　设过滤n次才能达到市场要求， 则2%，≤≤0.1%，即 所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8. 答案　8 8.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. 解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 答案　－ 三、解答题 9.已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a， (1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围. 解　(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.[来源:学科网ZXXK] 依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根， 因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.[来源:学科网ZXXK] (2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及.<a<解得即内各有一个零点，只需 故实数a的取值范围为.[来源:学科网ZXXK] 10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某