第3章 第1讲 变化率与导数、导数的计算 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第1讲　变化率与导数、导数的计算 一、选择题 1.设y＝x2ex，则y′＝(　　) A.x2ex＋2x B.2xex C.(2x＋x2)ex D.(x＋x2)ex 解析　y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.[来源:Zxxk.Com] 答案　C 2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.[来源:Z,xx,k.Com] 答案　B 3.曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程是(　　) A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0 解析　y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.[来源:Zxxk.Com] 答案　C 4.(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　) A.e B.－e C.[来源:学科网ZXXK] D.－ 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝.(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为，切线方程为y－ln x0＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝ 答案　C 5.(2017·昆明诊断)设曲线y＝处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)[来源:学科网]在点 A.－1 B. C.－2 D.2 解析　∵y′＝＝－1，∴a＝－1.[来源:学科网ZXXK]＝－1.由条件知，∴y′|x＝ 答案　A[来源:学科网] 二、填空题 6.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析　因为y′＝2ax－. ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝ 答案　 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________. 解析　由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案　0 8.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 消去y，得ax2＋ax＋2＝0， ∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案　8 三、解答题 9.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围. 解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，[来源:学.科.网][来源:学。科。网] 所以斜率最小的切线过点， 斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0. (2)由(1)得k≥－1， 所以tan α≥－1，所以α∈. ∪ 10.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限. (1)求P0的坐标； (2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程. 解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1. 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.[来源:学#科#网] 又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0. .∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－ 11.(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　) A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3 解析　若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.[来源:学*科*网Z*X*X*K