第3章 第2讲 第1课时 导数与函数的单调性 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第1课时　导数与函数的单调性 一、选择题 1.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析　函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－，令f′(x)<0，解得0<x<1， ＝ 所以单调递减区间是(0，1). 答案　A 2.(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x)(　　) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 解析　因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B. 答案　B 3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a). 答案　C 4.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，2][来源:Z&xx&k.Com] C. D. 解析　∵f′(x)＝6x2－6mx＋6， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立， 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立. 令g(x)＝x＋， ，g′(x)＝1－ ∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴m≤2＋. ＝ 答案　D 5.(2017·保定第一中学模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞)[来源:Zxxk.Com] C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)[来源:Z。xx。k.Com] 解析　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2， 因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1. 答案　B 二、填空题 6.已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________. 解析　因为f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， 因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－， <x< 所以函数f(x)的单调递增区间为(－).， 答案　(－) ， 7.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________. 解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.＝－ 答案　(0，1)∪(2，3) 8.(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________. 解析　由f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c，得f′(x)＝＋2x－5， 又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数，[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立， ∴≤m≤1. 解得 答案　 三、解答题 9.已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间. 解　(1)由题意得f′(x)＝， 又f′(1)＝＝0，故k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝. 设h(x)＝<0， －－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－ 即h(x)在(0，＋∞)上是减函数. 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞). 10.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′. (1)求a的值；[来源:Z*xx*k.