第3章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第2课时　导数与函数的极值、最值 一、选择题 1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　) A.y＝x3 B.y＝ln(－x) C.y＝xe－x D.y＝x＋ 解析　由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，D选项中的函数既为奇函数又存在极值. 答案　D 2.(2017·石家庄质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6， 又a>0，b>0，则t＝ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号. 答案　D 3.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　) A. D.1 C. B. 解析　由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1. 令f′(x)＝， －a＝0，得x＝ 当0<x<时，f′(x)<0. 时，f′(x)>0；当x> ∴f(x)max＝f ＝－ln a－1＝－1，解得a＝1. 答案　D[来源:Z#xx#k.Com] 4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0， ∴a>6或a<－3. 答案　B 5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　) 解析　因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0. 答案　D 二、填空题 6.(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________. 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3. 依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根 所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5. 经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值. 答案　5 7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________. 解析　当x>0时，f(x)＝－2x<0； 当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数. ∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2. 答案　2 8.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.[来源:Z*xx*k.Com] ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1. 答案　(－∞，－1)[来源:Zxxk.Com] 三、解答题 9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0). (1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性； (2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值. 解　(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).[来源:学科网ZXXK] f(x)＝， ＝ f′(x)＝. ＝ 所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0； 当－r<x<r时，f′(x)>0. 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)； f(x)的单调递增区间为(－r，r). (2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减. 因此，x＝r是f(x)的极大值点， 所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝100，f(x)在(0，＝＝ ＋∞)内无极小值； 综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值. 10.(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数). (1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；[来源:学科网ZXXK] (2)求f