第3章 第2讲 第3课时 导数与函数的综合应用 -【步步高】2020版高考数学（文）大一轮考点专项练（人教A版)

第3课时　导数与函数的综合应用 一、选择题 1.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，年产量是(　　) A.100 B.150 C.200 D.300 解析　由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x， 总利润P(x)＝ 又P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大. 答案　D 2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　) A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－2，0)∪(0，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2) 解析　x>0时在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0， ′<0，∴φ(x)＝ ∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f(x)>0. 又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 答案　D 3.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－∞，7] B.(－∞，－20][来源:学。科。网] C.(－∞，0] D.[－12，7] 解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去). ∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20， ∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20. 答案　B 4.(2017·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：[来源:学科网ZXXK] x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2[来源:学#科#网] 0[来源:学科网] 2 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)＝f(3)＝2，1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4. 答案　D 5.(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)[来源:Z。xx。k.Com] A.(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1) 解析　a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.[来源:学科网] 若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意. 则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有 f ＋1>0， －3×>0，即a× 化简得a2>4. 又a<0，所以a<－2. 答案　C 二、填空题 6.某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.x3－ 解析　由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 由于0<x<40时，y′<0； x>40时，y′>0. 所以当x＝40时，y有最小值. 答案　40 7.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________. 解析　设f(x)＝x3－3x＋c， 对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，可得x＝±1， 易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1，1)上单调递减. 若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2； 若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2. 答案　－2或2[来源:Z+xx+k.Com] 8.(2017·长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________. 解析　构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝. ＝ 由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减. 又g(0)＝<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).＝1，所以 答案　(0，＋∞) 三、解答题 9.据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0).现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC＝x(km). (1)试将y表示为x的函数； (2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求