专题2.2 函数的单调性与最值（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题2.2 函数的单调性与最值 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【特别提醒】 1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 2.“对勾函数”y＝x＋].，0)，(0，，＋∞)；单调减区间是[－)，((a>0)的单调增区间为(－∞，－ 考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 【典例1】（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A.和[2，＋∞)　　　　　　 B. C．(－∞，1]和和[2，＋∞) D. 【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。 【变式1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 考点二 确定含参函数的单调性(区间) 【典例2】（2019·大连二十四中模拟） 讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； 【变式2】（2019·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 考点三 解函数不等式 【典例3】（2019·山东潍坊一中模拟） 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 【变式3】（2019·广东深圳中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是(　　) A．{x|－3<x<0或x>3} B．{x|x<－3或0<x<3} C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3<x<0或0<x<3} 考点四 利用函数的单调性求参数 【典例4】（2019·重庆南开中学模拟）若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________． 【方法技巧】根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较。 【变式4】（2019·成都实验外国语学校模拟）设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1,4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) 考点五 函数的最值 【典例5】(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　) A. D．π C. B. 【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定