专题2.5 二次函数与幂函数（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题2.5 二次函数与幂函数 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x的图象，了解它们的变化情况；，y＝ 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【特别提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)<0.时恒有f(x)>0，当 考点一 幂函数的图象与性质 【典例1】 （2019·宁夏银川一中模拟）幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【方法技巧】(1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【变式1】(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.， 考点二 求二次函数的解析式 【典例2】（2019·广东中山纪念中学模拟） 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式 （2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x轴两点坐标，选用零点式 【变式2】（2019·湖北襄樊五中模拟）已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 考点三　二次函数的图象及应用 【例3】（2019·江西九江一中模拟）对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【变式3】（2019·河北唐山一中模拟）设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　) A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0 C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0 考点四 二次函数的单调性 【典例4】 （2019·浙江绍兴一中模拟）已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【方法技巧】研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论。 【变式4】（2019·河北保定一中模拟）函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　) A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．与x有关