专题2.7 对数与对数函数（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题2.7 对数与对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数. 知识点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 知识点三 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点四 反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【特别提醒】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝logab.；(2)logambn＝ 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 考点一　对数的运算 【典例1】 （2019·广东中山一中模拟）计算：＝________.÷100－ 【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【变式1】（2019·河南新乡一中模拟）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 考点二 对数函数图象及其应用 【典例2】（2019·广西桂林十八中模拟） 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　 　B. C．(1，，2)) D．( 【方法技巧】 (1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式2】 （2019·四川棠湖中学模拟）设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 考点三 比较对数值的大小 【典例3】【2019年高考天津理数】已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】 （1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 （2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 （3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 【变式3】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知 ，则（ ） A． B． C． D． 考点四 解简单的对数不等式 【典例4】（2019·山东枣庄八中模拟） 设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值． 【变式4】（2019·广东湛江一中模拟）已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取