三角形的中线与面积的三个重要结论

三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD是三角形ABC的中线，则 = = EMBED Equation.3 . 证明：因为AD是三角形的中线，所以BD=CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 则 = ×BD×AE, = ×CD×AE，所以 = ， 所以 = = EMBED Equation.3 . 由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD，BE是三角形ABC的中线，则① = ；② = ； ③ = =2 =2 = EMBED Equation.3 . 证明：因为AD、BE是三角形的中线，所以 = ， = ， 所以 + = + ---（1）， + = + ——-（2）， （1）—（2）得 - = - ，所以 = ； 因为 + = + ，所以 = ； 如图2，连接CF，易得 = = = , 所以 = =2 =2 = EMBED Equation.3 . 由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD，BE,CF是三角形ABC的中线，设△BGD的面积为 ,△BGF的面积为 ,△AGF的面积为 ,△AGE的面积为 ,△CGE的面积为 ,△CGD的面积为 ，△ABC的面积为S.则 = = = = = = S. 证明：因为AD是三角形ABC的中线，所以BD=CD，因为三角形ABD和三角形ACD的高相同，所以三角形ABD的面积和三角形ACD的面积相等，即 + + = + + . 因为三角形BGD和三角形CGD的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即 = . 所以 + = + .因为三角形BGF和三角形AGF的高相同，BF=AF，所以 ，其中h是点G到AB的距离，所以 = ，同理可证 = ，所以2 =2 ，所以 = ， 所以 = = = ，同理可证 = = = .所以 = = = = = .因为三角形ABC的面积为S，所以 =