11.1.3 三角形的稳定性&回归教材专题(1)三角形中重要线段的应用-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

八年级数学·上册 参考答案 第一部分同步练习堂堂清 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 知识储备 1.同一条直线2.三边等腰3.大于小于 基础练综合练素养练 1.D2.(1)5△ABE,△EBC,△DEC,△ABC,△DBC3(2)BEBC(3) ∠BCE(4)∠DCD3.B4.35.(1)C(2)A6.小DE+DF>EF 7.解：当6cm的边为底边时，设腰长为xcm,则6+2x=25,解得x=9.5,,6+ 9.5>9.5,.能构成三角形；当6cm的边为腰时，设底边长为ycm,则2×6十y =25,解得y=13,6十6<13，∴.此种情况不存在..等腰三角形的另两边长分 别为9.5cm,9.5cm.8.(1)25(2)5<x<109.(1)C(2)D10.41 11.4104≤AC≤1012.解：(1).a-b+(b-c)2=0,∴.a-b=0且b-c =0.a=b=c.∴.△ABC为等边三角形；(2)，(a-b)(b-c)=0,∴.a-b=0或 b-c=0或a一b=0且b-c=0,∴.a=b或b=c或a=b=c,∴.△ABC为等腰三 角形；(3).a,b,c是△ABC的三边长，∴.a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0. .原式=-a+b+c-b+c+a-c+a+b=a十b+c. 微专题（一） 【例】BD CO BD+COBO+CO6<OB+OC<12 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 知识储备 1.垂足2.中点中线3.平分线 基础练综合练素养练 1.上ADC2BC·AD2.B3.解：图略(1)21(2)交4.C5.1 BD CD BC S△CD SAABC5(2)126.①③7.∠BAC∠BAC36 8.D9.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠DAC.又∠EDA=∠EAD, ∠EAD=∠DAC..AD是△ABC的角平分线.10.(1)B(2)811.(1)高 (2)角平分线(3)中线12.解：(1)Sx=2AB·AC=号BC·AD,.2×6 X8=2×10·AD,解得AD=4,8:(2):AE是△ABC的中线，∴BE=CE=司 BC∴SAe=号BE·AD=号×2BC·AD=12cm.(3)3em:(4)CaE-CaE =AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2cm,13.解：设腰AB= AC=x,则AD=号x=CD.(1当AB+AD=15时，x+x=15,解得x=10. AB=AC=10,AD=CD=5.BC=6-CD=1.此时三边长是10,10,1，，10+1> 10,小能构成三角形.(2)当AB+AD=6时，x+2x=6,解得x=4,小AB=AC =4,AD=CD=2,BC=15-CD=13.此时三边长是4,4,13，，4+4<13，∴.不 能构成三角形.综上所述，这个三角形的底边长是1，腰长是10. 11.1.3三角形的稳定性 知识储备 稳定性 基础练综合练素养练 1.D2.B3.D4.D5.(1)①③④(2)②⑤⑥(3)相机的三脚架（答案不 唯-)6.C7.D8.(1)23n-3(2)9 回归教材专题（一）三角形中重要线段的应用 1.70或10°2.证明：AD,CE是△ABC的高Sr=BC·AD=2AB ·CE.即BC·AD=ABCE.又：AD=CE,BC·号CE=AB·CE.BC =2AB.3.证明：连接AD.:S=Sam十Sax2AC·BG=号AB· 174 DE+2ACDE.又AB=AC,∴号AC·BG=AC.(DE+DP),即DE+DF =BG.4.(1)5(2)解：(2)由题意，得①AC+BC=27-9=18,即AC+2CD= 18.②AC+CD=19-6=13.∴.CD=5,.AC=13-CD=13-5=8.5.解：(1) 由中线平分三角形的面积，可得Sm=Sm=号S,S=号Sam= Ss-号sm=名·5m-号×宁X1-m,246证明：GD 是△ABC的平分线，·∠BCD=∠ACD=寸∠ACB.”∠ECD=∠EDC, ∠EDC=∠ACD.∴.ED∥AC.∴.∠BED=∠ACB=2∠ACD. 11.2与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识储备 180° 基础练综合练素养练 1.AB∠BCD∠ACE两直线平行，内错角相等平角定义180°等量代 换2.D3.B4.(1)C(2)24°5.75°6.807.57.5°8.解：由题意，得： ∠BAC=∠CAE-∠BAE=90°-30°=60°.∠BCA=∠ACF-∠BCF=90° 50°=40°..∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°.答：从B地 看A,C两地的视角∠ABC是80°.9.D10.B11.解：(1)在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.，BE,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠FBC=∠ABC=2I,∠FCB=号∠ACB=39.在△BFC 中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.(2)70°12.解： (1)68°(2)，∠ADE=∠AED=75°，∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 30°.∠ADC=180°-∠DAE-∠C=82°，.∠CDE=∠ADC-∠ADE=82° 75°=7°.13.解：(1)：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180° 又∠AOB=∠COD,∴.∠A+∠B=∠C+∠D;(2)图2中有：ABCD,ABED, EBCD共计3个“8”字图形.(3)：BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴.∠ABE= ∠CBE=号∠ABC,∠CDE=∠ADE=号∠ADC.:∠A+∠ABE=∠E+ ∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,∴·∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E +∠ADE+∠CBE.“∠A+∠C=2∠E.即∠E=(∠A+∠CO. 第2课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余 基础练综合练素养练 1.(1)∠A∠B(2)∠A∠B(3)72°2.C3.C4.证明：AB∥CD,. ∠BAC+∠ACD=180.∠E=90°，∠2+∠3=90°.∴.∠1+∠4=90°.：AE 平分∠BAC,∴.∠1=∠2.∴.∠3=∠4..CE平分∠ACD.5.60°或90°6.(1) B(2)直角7.证明：：∠BAC=90°，.∠BAD+∠1=90°.BD平分 ∠ABC,∴.∠ABD=∠2..'∠1=∠2，.∠BAD+∠ABD=90°..∠ADB= 90°.即△ABD是直角三角形.8.C9.69°10.解：(1)∠1=∠2.理由如下： AD⊥BC,CE⊥AB,∴.△ABD和△BCE都是直角三角形.∴.∠1十∠B=90°， ∠2+∠B=90°.∴.∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：AD⊥BC, CE⊥AB,.∠D=∠E=90°.∴.∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又 ∠ABD=∠CBE,∴.∠1=∠2.11.解：，∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180° -∠B-∠C=74°.：AE,AD分别是△ABC的高和角平分线，∴.∠CAD= ∠BAD=37°.，在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=20°..∠DAE=∠CAD ∠EAC=37°-20°=17°.答：∠BAC是74°，∠DAE=17°.12.解：(1)130°90° 40°(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明：，90°+（∠ABP+∠ACP) +∠A=180°，∠ABP+∠ACP+∠A=90°..∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立：存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB =180°-∠A,:∠MPN=90°，∴.∠PBC+∠PCB=90°.∴.（∠ABC+∠ACB) -(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP -∠ABC∠PCB=90°-∠A,∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 17511.1.3 三角形的稳定性 4知识储备H (1)上述实例中,用到三角形稳定性的是 三角形具有 ,四边形不具有稳定性. (2)上述实例中,用到四边形不稳定性的是 A基础练 {必备知识梳理 知识点一 三角形的稳定性 (3)【新中考·条件开放】举出一个生活中利用 1.(中考·永州)下列多边形具有稳定性的是 三角形稳定性的例子 ) B综合练 #关键能力提升 6.如图,要使一个六边形木架在同一平面内不 ( 变形,至少要再钉上木条的个数为 ) 2.【教材P7练习题变式】下列图形中,不具有稳 B.2个 C.3个 A.1个 D.4个 定性的是 ) _ C B D 第6题图 知识点二 三角形稳定性的应用 第7题图 3.如图,人字梯中间一般会设计“拉杆”,这样做 7.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD. ) 的道理是 t 点E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了 A.两点之间线段最短 使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木 C 条不应钉在 B. 垂线段最短 ) A.A,C两点之间 C.两直线平行,内错角相等 拉杆 B.G,H两点之间 C.B,F两点之间 D. 三角形具有稳定性 D. E,G两点之间 4.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是 C素养练 #学科素养培育# ( 8.【教材P9习题T10变式】如图,我们知道,要 A. 自行车的三角形车架 使四边形木架不变形,至少要钉1根木条,那 B.三角形房架 么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木 C. 照相机的三脚架 条?要使六边形木架不变形,至少要钉几根 D.学校的栅栏门 木条?要使”边形木架不变形,又至少要钉 5.【教材P7图变式】 一材多题 几根木条呢? 观察下列实例,并回答问题: #W (1)请完成下表: ② ③ 木架的边数 至少钉木条的根数 (2)要使士二边形木架不变形,则至少钉 根木条. 6 1 八年级数学·上册 回归教材专题(一) 三角形中重要线段的应用 类型一 三角形高的应用【针对教材P9习题T8】 (2)△ABC的周长为27,AB=9,BC边上中线 1.【分类讨论思想】△ABC中,AD是高, AD=6,△ACD的周长为19,求AC的长 BAD=40{*},CAD=30{*},则 {BAC=$$ 2.如图,在ABC中,AD,CE分别是边BC. (二)利用中线求面积 5.在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC. AD.CE的中点. (1)如图1,若Sc=1cm^{},求△BEF的面 积; (2)如图2,若S△BFc=1cm^{,则S△ABc= cm{}(提示:对比第(1)题,先作辅助 线). 3.如图,在 ABC中,AB=AC,DE AB,DF [AC,BG AC,垂足分别为E,F,G 求证:DE十DF-BG 图1 图2 类型三 三角形角平分线的应用【针对教材P9 习题T9】 6.如图,CD是ABC的角平分线,点E是BC 上一点,且EDC=ECD. 求证:BED=2 ACD 类型二 三角形中线的应用 (一)利用中线求线段的长 4.如图,在ABC中,AB>AC,AD为BC边上 的中线. (1)△ABD的周长比△ACD的周长大4,若 AB+AC-14,则AC-; 助学助数 优质高致 2