专题08 立体几何-备战2020年高考数学（文）之纠错笔记系列

专题08 立体几何 易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 . 【错解】P 【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案. 【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O. 【参考答案】O 1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答. 2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项： (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 1．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】圆柱的侧面展开图如图， 圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2， 则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段， . 故选：A． 易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 【错解】A或B或C 【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体； 选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体； 选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体. 【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D. 【参考答案】D 1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚． 2．三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． (2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示． (3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合. 2．下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【解析】分析题中简单几何体可知，②④中几何体的正视图和侧视图相同. 故选D. 易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系 如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为 A．3 B． C．6 D． 【错解】B 【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为.实际上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解. 【试题解析】原平面图形如图，即Rt△OAB，其中OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面图形的面积为，选C. 【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答关键是牢记原图形与直观图的面积比为． 【参考答案】C 1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”： “三变”； “三不变”. 2．原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍. 3．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图(如图所示)，其中，，，则直角梯形边的长度是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直观图作出梯形是直角梯形，如图： 按照斜二测画法画，可得出它的直观图， ∴直角梯形中,， 过作，交于 , 则， 直角梯形边的长度为，故选B . 【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的基本原理与性质，以及由直观图还原平面图形，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误． 易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 A．21+ 　　 B．18+ C．21 D．18 【错解