2020高考数学（理）（课标III）大一轮复习（PDF版教师用书）：第五章 平面向量 (2份打包)

第五章 平面向量 真题多维细目表 考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养 ２０１９ 课标Ⅲ，１３ ５ 分 填空题 易 数量积的定义及夹角与模 长问题 ①数量积的计算； ②夹角余弦值的求解 公式法 数学运算 ２０１８ 课标Ⅲ，１３ ５ 分 填空题 易 平面向量基本定理及坐标 运算 向量平行的坐标运算 公式法 数学运算 ２０１７ 课标Ⅲ，１２ ５ 分 选择题 难 平面向量基本定理 利用平面向量基本定理求解向 量线性分解系数和的最值问题 数形结合法； 坐标法 数学运算； 直观想象 ２０１６ 课标Ⅲ，３ ５ 分 选择题 易 向量夹角、模长问题 利用定义求解向量的夹角 公式法 数学运算 ２０１５ 课标Ⅱ，１３ ５ 分 填空题 易 平面 向 量 的 概 念 及 线 性 运算 向量共线（平行）的充要条件 公式法 数学运算 命题规律与趋势 ０１ 考查内容 １．从近几年高考命题来看，本章节内容为 必考内容，主要考查平面向量的运算、平 面向量共线定理以及平面向量基本定理 的简单应用． ２．考查向量的线性运算、数量积运算，用坐 标运算求向量数量积、长度、角度，处理 与向量平行、垂直相关的运算问题，利用 平面向量基本定理进行向量的分解等． ０２ 考频赋分 每年必考，考 １ 个小题，分值 ５ 分． ０３ 题型难度 以中等偏易难度为主，但是也可能涉及难 题，如 ２０１７ 年第 １２ 题． ０４ 命题特点 除 ２０１７ 年考查了平面向量基本定理的应 用，２０１５ 年考察向量共线定理，其他几年 都考查向量的简单线性运算与数量积运 算，故高考对向量的考查更侧重于基础． ０５ 核心素养 以数学运算的核心素养为主． ０６ 命题趋势 高考对本章内容的考查较稳定，考查方式、 题型、难度变化不大，以基础题为主，但不 排除出现难题的可能性． ０７ 备考建议 １．关于长度与角度、平面向量线性运算及 其表示的问题，高考通常侧重考查学生 对公式的掌握和理解，因此学生应做到 掌握公式，熟练运用． ２．平面向量基本定理，常考查学生对夹角 运算和坐标运算方法的灵活选择，具体 体现在求解向量数量积的最值（范围）、 模和角的值（范围）、分解系数相关的最 值（范围）等方面，综合性强，常结合均值 不等式、构建函数模型进行考查，难度较 大，需要学生有较强的综合分析能力和 运算能力，因此学生应加强对各关联知 识的理解与掌握，积极提升综合分析能 力、运算能力． 第五章　 平面向量 ４５　　　 § ５．１　 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 对应学生用书起始页码 Ｐ７９ 考点一 平面向量的概念及线性运算 　 　 １．向量的基本概念 （１）单位向量 模为 １ 个单位长度的向量叫做单位向量，常用 ｅ 表示，其他 的表示方法：ｉ， ｊ，ｋ， ａ ｜ ａ ｜ ， ｘ ｘ２＋ｙ２ ， ｙ ｘ２＋ｙ２ æ è ç ö ø ÷ ，（ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ）等． （２）平行（共线）向量 方向相同或相反的非零向量 ａ、ｂ 叫做平行向量，也叫做共 线向量，记作 ａ∥ｂ．规定 ０ 与任一向量平行． （３）相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作 ａ＝ｂ． （４）相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．ａ 的相反向量为 －ａ．有－（－ａ）＝ ａ．规定：０ 的相反向量是 ０． ２．向量的线性运算 （１）量的加法 法则：三角形法则或平行四边形法则． 交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ；结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ） ． （２）向量的减法 向量减法：ａ 与 ｂ 的相反向量相加叫做 ａ 与 ｂ 的差，记作 ａ－ ｂ＝ａ＋（－ｂ） ． 法则：三角形法则或平行四边形法则． 注意：等式 ｜ ａ＋ｂ ｜ ２＋ ｜ ａ－ｂ ｜ ２ ＝ ２（ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ｜ ｂ ｜ ２）的几何意义：平 行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和． （３）实数与向量的乘积 实数 λ 与向量 ａ 的乘积是一个向量，记作 λａ．规定： ｜ λａ ｜ ＝ ｜λ ｜ ｜ ａ ｜ ．当 λ＞０ 时，λａ 的方向与 ａ 的方向相同；当 λ＜０ 时，λａ 的 方向与 ａ 的方向相反；当 λ＝ ０ 时，λａ 的方向是任意的． 结合律：λ（μａ）＝ （λμ） ａ；第一分配律：（λ＋μ） ａ ＝ λａ＋μａ；第 二分配律：λ（ａ＋ｂ）＝ λａ＋λｂ． （４）向量共线的充要条件 若向量 ａ、ｂ 是两个非零向量，则 ａ∥ｂ⇔存在唯一 λ∈Ｒ，使 得 ａ＝λｂ． 对于任意非零向量 ａ、ｂ，ａ∥ｂ⇔存在 λ、μ∈Ｒ 且 λ２ ＋μ２≠０， 使得 λａ＋μｂ＝ ０． 注意：用向量法证明 Ａ，Ｂ，Ｃ 三点共线时，首先要求出ＡＢ→， ＡＣ→，然后证明ＡＢ→＝λ ＡＣ→，即可证得ＡＢ→与ＡＣ→共线． 考点二 平面向量的基本定理