2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第十六章 空间向量与立体几何 (共2份打包)

１２８　　 ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（教师用书） 第十六章 空间向量与立体几何 对应学生用书起始页码 Ｐ３７１ 　 　 １．空间向量的有关定理 （１）共线向量定理：共线向量定理可以分解为两个命题（ａ，ｂ （ｂ≠０） 为空间内任意两个向量）：①ａ∥ｂ⇒存在唯一实数 λ，使 得 ａ ＝λｂ；②若存在实数 λ，使 ａ ＝λｂ，则 ａ∥ｂ，其中命题②是空间 向量共线的判定定理． （２） 四点共面的充要条件：①空间一点 Ｐ 位于平面 ＡＢＣ 内 的充要条件是存在有序实数对（ ｘ，ｙ），使 ＡＰ→ ＝ ｘ ＡＢ→＋ｙ ＡＣ→成立； ②对空间任意一点 Ｏ，有 ＯＰ→＝ ｘ ＯＡ→＋ｙ ＯＢ→＋ｚ ＯＣ→，若 ｘ＋ｙ＋ｚ ＝ １，则 Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ 四点共面，反之亦成立． （３）空间向量基本定理：①空间任意三个不共面的向量都可 以构成空间的一组基底；②基底选定后，空间的所有向量均可由 基底唯一表示． ２．与空间向量运算有关的结论 设 ａ ＝ （ａ１ ，ａ２ ，ａ３ ），ｂ ＝ （ｂ１ ，ｂ２ ，ｂ３ ）． （１）ａ∥ｂ⇔ａ ＝ λｂ（ ｂ≠０） ⇔ａ１ ＝ λｂ１ ，ａ２ ＝ λｂ２ ，ａ３ ＝ λｂ３（ λ∈ Ｒ）； （２）ａ⊥ｂ⇔ａ·ｂ ＝ ０⇔ａ１ｂ１ ＋ａ２ｂ２ ＋ａ３ｂ３ ＝ ０； （３） ｜ ａ ｜ ＝ ａ２ ＝ ａ２１ ＋ａ ２ ２ ＋ａ ２ ３ ； （４）ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ＝ ａ·ｂ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ａ１ｂ１ ＋ａ２ｂ２ ＋ａ３ｂ３ ａ２１ ＋ａ ２ ２ ＋ａ ２ ３ · ｂ ２ １ ＋ｂ ２ ２ ＋ｂ ２ ３ ． ３．与空间距离有关的结论 （１）点面距离：已知平面 α 外一点 Ｂ（ｘ０ ，ｙ０ ，ｚ０ ），平面 α 内一 点 Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ，ｚ１ ），平面 α 的一个法向量 ｎ，则点 Ｂ 到平面 α 的距离 为 ｄ ＝ ｜ ＢＡ→·ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ ； （２）线面距离：已知直线 ａ∥平面 α，直线 ａ 上一点 Ｂ（ｘ０ ，ｙ０ ， ｚ０），平面 α 内一点 Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ，ｚ１ ），平面 α 的一个法向量 ｎ，则直线 ａ 到平面 α 的距离为 ｄ ＝ ｜ ＢＡ→·ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ ； （３）面面距离：已知平面 α 内一点 Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ，ｚ１ ），平面 β 内一 点 Ｂ（ｘ０ ，ｙ０ ，ｚ０ ），平面 α（或平面 β）的一个法向量 ｎ，则平行平面 α，β 间的距离为 ｄ ＝ ｜ ＢＡ→·ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ ． （４）异面直线间的距离：已知直线 ａ 上一点 Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ，ｚ１ ），直 线 ｂ 上一点 Ｂ（ｘ０ ，ｙ０ ，ｚ０ ），异面直线 ａ，ｂ 的公垂线的方向向量为 ｎ，则异面直线 ａ，ｂ 间的距离为 ｄ ＝ ｜ ＢＡ→·ｎ ｜ ｜ ｎ ｜ ． （５）两点间的距离：已知点 Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ，ｚ１ ），Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ，ｚ２ ），则 Ａ， Ｂ 两点间的距离为 ｜ ＡＢ→ ｜ ＝ （ｘ２ －ｘ１ ） ２ ＋（ｙ２ －ｙ１ ） ２ ＋（ｚ２ －ｚ１ ） ２ ． ４．与空间角有关的结论 （１）异面直线所成角公式：设 ａ、ｂ 分别为异面直线 ｌ１ 、ｌ２ 的 方向向量，θ 为 ｌ１ 、ｌ２ 所成的角，则 ｃｏｓ θ＝ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ｜ ＝ ｜ ａ·ｂ ｜ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ． （２）线面所成角公式：设 ｌ 为平面 α 的斜线，ａ 为 ｌ 的方向向 量，ｎ 为平面 α 的法向量，θ 为 ｌ 与 α 所成的角，则 ｓｉｎ θ＝ ｜ ｃｏｓ〈ａ， ｎ〉 ｜ ＝ ｜ ａ·ｎ ｜ ｜ ａ ｜ ｜ ｎ ｜ ． （３）面面角公式：设 ｎ１ 、ｎ２ 分别为平面 α、β 的法向量，二面 角为 θ，则 θ＝ 〈ｎ１ ，ｎ２ 〉或 θ＝ π－〈ｎ１ ，ｎ２ 〉（需要根据具体情况判断 相等或互补），其中 ｃｏｓ〈ｎ１ ，ｎ２ 〉 ＝ ｎ１ ·ｎ２ ｜ ｎ１ ｜ ｜ ｎ２ ｜ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ３７２ 一、用空间向量求解空间角的方法 　 　 设异面直线 ｌ，ｍ 的方向向量分别为 ａ ＝ （ａ１ ，ｂ１ ，ｃ１ ），ｂ ＝ （ａ２ ， ｂ２ ，ｃ２ ）．平面 α，β 的法向量分别为 μ ＝ （ ａ３ ，ｂ３ ，ｃ３ ），ｖ ＝ （ ａ４ ，ｂ４ ， ｃ４ ），平面 α∩平面 β ＝ 直线 ＡＢ． （１）线线夹角：设 ｌ，ｍ 所成的角为 θ ０＜θ≤ π ２( ) ，则 ｃｏｓ θ ＝ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ｜ ＝ ｜ ａ·ｂ ｜ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ１ａ２ ＋ｂ１ｂ２ ＋ｃ１ｃ２ ｜ ａ２１ ＋ｂ ２ １ ＋ｃ ２ １ ·