2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第十八章 数学归纳法及其应用 (共2份打包)

１３４　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书） 第十八章 数学归纳法及其应用 对应学生用书起始页码 Ｐ３８２ 考 点 数学归纳法 　 　 １．数学归纳法 数学归纳法用于证明一个与正整数 ｎ 有关的命题，数学归 纳法证题的一般步骤： （１）（归纳奠基）证明当 ｎ 取第一个值 ｎ０（ｎ０ ∈Ｎ∗）时命题 成立； （２）（归纳递推）假设 ｎ＝ ｋ（ｋ≥ｎ０，ｋ∈Ｎ∗）时命题成立，证明 当 ｎ＝ ｋ＋１ 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 ｎ０ 开始的所有 正整数 ｎ 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 　 　 １．数学归纳法与递推思想 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步 是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否 则就会导致错误． ２．如何正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明时要做到“递推基础不可少，归纳假设要 用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下两点： （１）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ｎ０， 这个数 ｎ０ 就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数 并不一定都是“１”． （２）递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“ｋ”到“ｋ＋１”的过程 中，必须把“ｎ＝ ｋ”时的归纳假设作为条件来导出“ｎ ＝ ｋ＋１”时 的结论，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ３８２ 应用数学归纳法解题的策略 　 　 以数列、不等式等知识为载体，融分类讨论、等价转化等数 学思想方法于其中，或要求先进行不完全归纳，猜测出结论，再 运用数学归纳法进行证明，这是高考对本部分知识命制试题最 常用的形式． 题目没有明确给出用数学归纳法证明时要选择使用，理解 数学归纳法更多是证明关于自然数的命题正确性的方法． 由 ｋ 到 ｋ＋１ 的证明中寻找由 ｋ 到 ｋ＋１ 的变化规律是难点， 突破难点的关键是掌握由 ｋ 到 ｋ＋１ 的证明方法．在运用归纳假设 时，应分析 Ｐ（ｋ）与 Ｐ（ｋ＋１）的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩 等方法，或从 Ｐ（ ｋ）出发拼凑 Ｐ（ ｋ＋１），或从 Ｐ（ ｋ＋１）中分离出 Ｐ（ｋ），再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺 利过渡，切实掌握“观察———归纳———猜想———证明”这一特殊 到一般的推理方法． （２０１９ 无锡期末，２４）已知数列｛ａｎ｝满足 ａ１ ＝ ２ ３ ， １ ａｎ－１ ＝ ２－ａｎ－１ ａｎ－１－１ （ｎ≥２） ． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）设数列｛ａｎ｝的前 ｎ 项和为 Ｓｎ，用数学归纳法证明：Ｓｎ ＜ｎ ＋ １ ２ －ｌｎ ｎ＋３ ２ ． 解析　 （１）当 ｎ≥２ 时，由 １ ａｎ－１ ＝ ２－ａｎ－１ ａｎ－１－１ ， 得 １ ａｎ－１ ＝ １－ａｎ－１ ａｎ－１－１ ＋ １ ａｎ－１－１ ， ∴ １ ａｎ－１ － １ ａｎ－１－１ ＝－１． （１ 分） ∴ １ ａｎ－１{ } 是首项为－３，公差为－１ 的等差数列． ∴ １ ａｎ－１ ＝－ｎ－２，∴ ａｎ ＝ ｎ＋１ ｎ＋２ （ｎ∈Ｎ∗） ． （３ 分） （２）证明：①当 ｎ＝ １ 时，左边＝Ｓ１ ＝ａ１ ＝ ２ ３ ，右边＝ ３ ２ －ｌｎ ２， ∵ ｅ３＞１６⇔３ｌｎ ｅ＞４ｌｎ ２⇔ｌｎ ２＜ ３ ４ ， ∴ ３ ２ －ｌｎ ２＞ ３ ２ － ３ ４ ＝ ３ ４ ＞ ２ ３ ， 所以命题成立； （５ 分） ②假设当 ｎ＝ ｋ（ｋ≥１，ｋ∈Ｎ∗）时成立， 即 Ｓｋ＜ｋ－ｌｎ ｋ＋３ ２ ＋ １ ２ ． 则当 ｎ＝ ｋ＋１ 时，Ｓｋ＋１ ＝Ｓｋ＋ａｋ＋１＜ｋ－ｌｎ ｋ＋３ ２ ＋ １ ２ ＋ｋ ＋２ ｋ＋３ ， 要证 Ｓｋ＋１＜（ｋ＋１）－ｌｎ （ｋ＋１）＋３ ２ ＋ １ ２ ， 只要证 ｋ－ｌｎ ｋ＋３ ２ ＋ １ ２ ＋ｋ ＋２ ｋ＋３ ＜（ｋ＋１）－ｌｎ （ｋ＋１）＋３ ２ ＋ １ ２ ， 只要证 ｌｎ ｋ＋４ ｋ＋３ ＜ １ ｋ＋３ ，即证 ｌｎ １＋ １ ｋ＋３( ) ＜ １ ｋ＋３ ． （８ 分） 设函数 Ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞０）， 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十八章　 数学归纳法及其应用 １３５　　 ∴ Ｆ′（ｘ）＝ １ １＋ｘ －１＝ －ｘ １＋ｘ ，∵ ｘ＞０，∴ Ｆ′（ｘ）＜０， ∴ 函数 Ｆ（ｘ）在（０，＋∞ ）上为减函数， ∴ Ｆ（ｘ）＜Ｆ（０）＝ ０，即 ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ． ∴ ｌｎ １＋ １ ｋ＋３( ) ＜ １ ｋ＋３ ，也就是说，当 ｎ＝ ｋ＋１ 时命题也成立． 综