2019秋人教A版高中数学选修4-4课件+练习：第二讲四渐开线与摆线 (2份打包)

第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线 A级　基础巩固 一、选择题[来源:Z+xx+k.Com] 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C 2．直径为12的圆的摆线的参数方程是(　　) A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) D.(φ为参数) 解析：因为2r＝12.所以r＝6.所以该圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．故选A. 答案：A 3．已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为(　　) A. B. C. D. 解析：圆的摆线的参数方程为 令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)， 得x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又过(1，0)， 所以r(2kπ－sin 2kπ)＝1，所以r＝， 又r>0，所以k∈N*. 答案：A[来源:学,科,网Z,X,X,K] 4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　) A．π　　　　B．3π　　　　C．6π　　　　D．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 (φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)． 答案：C 5．已知一个圆的参数方程为之间的距离为(　　)对应的点A与点B(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝ A. D. C.－1 B. 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为代入参数方程中可得(φ为参数)，把φ＝ 即A， 所以|AB|＝ .＝ 答案：C 二、填空题[来源:学科网ZXXK] 6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________． 解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换． 答案：(φ为参数) 7．已知圆的渐开线的参数方程是时对应的曲线上的点的坐标为________．(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝ 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝.[来源:学|科|网Z|X|X|K]，由此可得对应的坐标为－，y＝＋代入曲线的参数方程，得x＝ 答案：2　 8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________． 解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)． 当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)． 答案：(π，2) 三、解答题 9．已知渐开线的参数方程是和π时对应的渐开线上的两点A、B之间的距离．(θ为参数)，求当参数θ为 解：当θ＝当θ＝π时，时， 所以A(π，2)，B(－2，2π)， 所以|AB|＝.＝ 10．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标． 解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程＝1，＋＋y2＝36，即 对应的焦点坐标为(6，0)．，0)和(－6 B级　能力提升 1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是(　　) A．3π　　　　　　　 B．4π C．5π D．6π 解析：根据渐开线的定义可知，圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.是半径为4的；圆周长，长度为是半径为3的圆周长，长度为π；是半径为2的，继续旋转可得圆周长，长度为是半径为1的 答案：C 2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________． 解析：由题设得4＝4(1－cos t)得cos t＝0. 因为t∈[0，2π)，所以t1＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)