突破03 函数中的数学思想（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列（新课标人教A版）

突破3 函数中的数学思想【举一反三系列】 【考查角度1 分类讨论思想】 方法导入 本章分类讨论思想主要用于含参型函数、分段函数的性质研究. 步骤 第1步：明确分类的标准； 第2步：分类研究各种情形下函数的性质； 第3步：得出正确的结论. 反思 应用分类讨论思想解决问题的关键是对分类标准的确定，分类要做到不重不漏. 【例1】（2019秋•小店区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）），当x＞0时，f（x））＝2x+3． （1）求f（x））的解析式； （2）若f（a）＜7，求实数a的取值范围． 【练1.1】已知函数f（x）＝x2（x≠0）． （1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性． 【练1.2】（2019春•龙凤区校级月考）已知二次函数f（x）的图象过点，且最小值为． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣（1+2m）x+1（m∈R）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数m的值． 【练1.3】（2019春•浉河区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （1）求函数f（x）（x∈R）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）的表达式． 【考查角度2 数形结合思想】 方法导入 在函数问题中，数形结合思想常用于解方程、解不等式、求函数的值域等问题. 步骤 第1步：构造函数； 第2步：画出函数图象； 第3步：借助函数图象直观求解. 反思 以形助数是解决函数问题的常见手段，画准图象是求解的关键. 【例2】（2019•铁岭模拟）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）≤0的解集为　 　． 【练2.1】（2019秋•清流县校级期中）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集　 ． 【练2.2】对a，b∈R，记max{a，b}函数f（x）＝max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是　　． 【练2.3】（2018•丰台区一模）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）． ①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是　 　； ②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是　 　． 【考查角度3 转化思想】 方法导入 在本章中，转化思想常用于求函数值，解决不等式恒成立或有解等问题. 步骤 第1步：寻找转化的途径； 第2步：将所给的问题转化为函数性质问题; 第3步：通过研究函数的性质使问题转化求解. 反思 转化的过程是一个探索的过程，抓住函数的内在联系，通过一步一步转化才能使得结果慢慢显现出来. 【例3】（2019春•嘉兴期末）已知函数f（x）＝x2+ax+2． （Ⅰ）当a＝3时，解不等式f（x）＜0； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 【练3.1】（2019春•哈尔滨期中）已知函数f（x）＝x2+2x+a． （1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集 （2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 【练3.2】已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，2]时，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝ax﹣2﹣a（a＞0），若对于任意的x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求实数a的取值范围． 【练3.3】（2019秋•沈阳期中）已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），当x＞0时，f（x）＜0； （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＞0对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 【趁热打铁】 1．（2019春•桂林期末）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则满足不等式f（x）＞0的实数x的取值范围是　 　． 2．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，当﹣3＜x≤0时，f（x）的函数图象如图所示，则不等式x•f（x）≥0的解集为　 　． 3．如图所示，函数y＝f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为　 　． 4．（2019春•香坊区校级期末）已知函数f（x）＝2x2﹣kx+8． （1）若函数g（x）＝f（x）+2x是偶函数，求k的值； （2）若函数y＝f（x）在[﹣1，2]上，f