2020高考数学（理）大一轮复习考点与题型全归纳：选修4－4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 一、基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 4．简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例]　求双曲线C：x2－变换后所得曲线C′的焦点坐标． ＝1经过φ： [解]　设曲线C′上任意一点P(x′，y′)， 由上述可知，将＝1， 代入x2－ 得＝1为曲线C′的方程， －＝1，即－＝1，化简得－ 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法]　伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将 ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程． ＝f代入y＝f(x)，得 [提醒]　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)． [题组训练] 1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：，求函数y＝f(x)的最小正周期． 的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin 解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得 3y＝3sin， ，整理得y＝sin 故f(x)＝sin. 所以函