7 导数的应用（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练习聚焦导数的应用，通过基础单选、中档多选填空、综合解答题三层设计，实现从单一最值求解到复杂实际问题建模的进阶，培养数学建模与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|导数求最值（体积、利润等单一问题）|单选为主，如箱子体积最大问题，直接应用导数求极值| |中档|实际情境综合（运费、环保监测等）|多选与填空，如羽毛球筒体积、数据收益问题，需建立函数关系| |综合|复杂建模与多步求解（行程费用、生产利润等）|解答题，如汽车运输成本、矩形堆料场设计，需完整建模并优化|

2.7导数的应用 1．某箱子的体积V与底面边长x的为，则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为（    ） A．30 B．40 C．50 D．55 【答案】B 【分析】先求导，然后根据导数求最值. 【详解】解：由题意得： 由题意得 因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以是的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为. 故选：B 2．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（   ）可使其体积最大. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆锥的体积转化为关于深度的关系式，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】依题意，羽毛球筒盖子的体积为，而， 则，，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 所以盖子的深度h为，其体积最大. 3．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 4．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 【答案】B 【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案. 【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m， 因此新墙总长度，则， 令，得或(舍去)， 当时，，当时，， 则L在上单调递减，在上单调递增， ∴是L的最小值点，此时， 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 故选：B 5．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到利润函数，利用导数求最值判断. 【详解】由题知总收入 ，成本 ， 因此利润 ， 则，令 ，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此时利润取得最大值. 6．（多选）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ABD 【分析】先根据已知条件求出无盖方盒的容积表达式，借助导数研究单调性和最值，运用函数对称性和分组求和得到函数值. 【详解】由题意可知，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为. 根据长方体体积公式，可得方盒容积，展开可得： 因为要能做成无盖方盒，则且，即，所以，故A选项正确. 对求导，可得： 令，即，解得，. 因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，，故B选项正确. 由上述求导分析可知，当时，，所以在区间上单调递减，故C选项错误. 当时，.易知. 所以，，，，. 一共有组和为的数对，再加上，则，故D选项正确. 故选：ABD. 7．（多选）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 【答案】BD 【分析】设，利用函数表示出运费，求导数，利用导数求出最小值及对应的，即可得解. 【详解】设，铁路上的运费为， 公路上的运费为， 则由到的总运费为. 则. 令，解得，(舍). 当时，，当时，. 故当时，取得最小值，， 即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小， 此时，，点M到C的公路运费是50， 故选：BD 8．（多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 【答案】AB 【分析】对于A，令，可求得定点，即可判断A；对于B，对求导，判断导函数在时的正负，即可判断B；对于C，由B即可判断；对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可． 【详解】解：对于A，在中，令，则，所以过定点，故A正确； 对于B，因为 则注意到当，， 则在上单调递增，故B正确； 对于C，由B选项知为单调递增函数，故不存在对称轴，故C错误； 对于D，以a为自变量，设为， 则 ，因为，故， 所以的正负取决于，当时 ，即当时，随着a的增大，减小，故D错误 故选： 9．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 【答案】1024 【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，再求出最大值. 【详解】由题意可知，无盖方盒的底面为边长是的正方形，高为， 则满足，即定义域为， 因此方盒的容积为. . 令，结合定义域，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，则. 10．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 【答案】3 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设，则，得， 则. 设函数， 则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 故答案为：3 11．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 【答案】0.047 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运_______年，可使其营运年平均利润最大，最大利润为_______万元． 【答案】 5 2 【分析】先求出年平均利润的表达式，再利用导数判断函数单调性求出极大值即得． 【详解】总利润（万元）与营运年数之间的关系式为， 平均利润为， 令，则，令，得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，每辆客车营运5年时的年平均利润最大，最大利润为（万元）． 故答案为：5；2． 13．已知两城市的距离是150 km，根据交通法规及省油原则，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是8元/L，以 km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，其他费用是40元/h.当车速是多少时，才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h，参考数据：) 【答案】53 【分析】先根据题意列出总费用关于车速的函数，再通过导数找到函数的极小值，也就是最小值. 【详解】由题意可设总费用为且，则行车的时间为， 于是， 则，由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值. 14．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， (1)设一个正方形的边长为，用函数关系式表示两个正方形的面积和 (2)要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】(1) (2)两段铁丝的长度均为. 【分析】（1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积； （2）利用导数求面积的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长). 【详解】（1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和； （2）由（1）得， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 15．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【分析】（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式. （2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论. 【详解】（1）由题意可知，当时，，即， 解得，所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 16．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，得，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可. （2）设从甲地到乙地耗油为，结合题意得到，再结合导数研究该函数的单调性即可求解. 【详解】（1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 1．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 2．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】形成的正四棱锥如图所示，取BC中点，连接SM，OM， 由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以，设，中， 则，正四棱锥的体积， 令，其中即， 正四棱锥的体积最大即取得最大值，， 令得到，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时正四棱锥的体积最大． 3．路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A，B，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E，F，利用割补法及梯形的面积公式求三角形的面积，再应用导数求其最大值. 【详解】如图，过A，B，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E，F， 则的面积为， 设， 则， 所以在上单调递减，则． 4．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【分析】由题意可得利润利用导数求得当时，取最大值，从而得，将代入方程中求解即可. 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 5．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断． 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 6．（多选）如图，直线AB与半径为1的圆C相切于D点，射线DB绕着D点逆时针方向旋转到DA，在旋转过程中射线DB交圆C于E点，设，，射线DB扫过圆C内部（阴影部分）的面积为，则（    ） A． B．，当 C．直线为的对称轴 D．在瞬时变化率最大 【答案】AD 【分析】对于A，根据几何关系求得，再据此得到的解析式即可；对于B，构造，求导研究极值即可；对于C，求出的值，再分析判断即可；对于D，判断是否为的最大值即可． 【详解】对于A，如图所示，根据几何关系可知，， 所以， 则，， 所以，故A正确； 对于B，令，， ，，所以当时，单调递减， 即，即，，故B错误； 对于C，因为， 所以点为的对称中心， 直线不是的对称轴，故C错误； 对于D，，所以， 故在瞬时变化率最大，故D正确． 故选：AD． 7．（多选）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 【答案】AD 【分析】求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式可判断A选项；当时，，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算，可判断B选项；分别算出圆锥外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断C选项；求得，，进而得出，令，利用导数求出使得取最大值时的值，即可得出对应的值，可判断D选项. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 对于A选项，该圆锥的侧面积为，解得， 所以该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为，A对； 对于B选项，当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，   ，所以为钝角， 令、是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则， 所以， 当且仅当时，取等号，B错； 对于C选项，当时，即当时，该圆锥的侧面积为，可得， 高， 设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为， 所以， 棱长为的正四面体可以补成正方体，如图所示，    则正方体的棱长， 正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球半径为， 则由等体积法可知， 注意到， 所以圆锥不能在棱长为的正四面体内任意转动，C错； 对于D选项，由题意可知，圆锥底面周长为，故， 该圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为，故， 令，其中， 则，由，可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值，D对. 故选：AD. 8．（多选）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥铁架，则此三棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】取CD的中点E，进而证明平面ABE，然后求出该三棱锥的体积，进而结合导数求最值的方法求出体积的最大值，最后判断答案. 【详解】如图所示，设，，取CD的中点E，连接AE,BE，则，而，所以平面ABE. 由勾股定理可得，取AB中点F，连接EF，则，又，所以，所以，所以三棱锥的体积. 令，，则.令，，则，令，得，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则V的最大值为，所以此三棱锥的体积的取值范围是，故选项A，B，C满足题意. 故选：ABC. 9．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 【答案】 【分析】先分析水平平面内的硬管极限长度：即将走廊的水平截面看作 “直角拐角”（左侧宽米，右侧宽1米）；再求的最小值：即水平方向能通过的最长硬管长度；最后结合高度求空间极限长度：即走廊高度为6米，硬管需同时满足“水平长度≤8”和“高度≤6”，因此空间中硬管的极限长度为“水平极限长度与高度构成的空间对角线”，计算出实际长度即可. 【详解】设硬管与左侧走廊水平方向的夹角为，则水平方向硬管长度为：， 则， 令，得，即， 所以，即，代入得： 水平极限长度：， 空间极限长度==10， 因为实际长度为极限长度的0.8倍，所以. 故的值是8. 故答案为：. 10．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【分析】由题意可得出利润，再设，然后分与两种情况并结合导数从而求出最大利润. 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 11．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径____ 【答案】 【分析】根据原子与1个原子的直径和为正方体的体对角线长得到，再由8个原子与1个原子的体积之和为，利用导数法求解. 【详解】正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为， 设原子的半径为，原子的半径为，依题意，，即，， 个原子与1个原子的体积之和为： ， 令，，则， 由，得，当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 即当时，取得最小值， 当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径为． 故答案为：． 12．如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设． （1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围）______． （2）当取最大值时，求的值为______． 【答案】 【分析】设与相交于点，与相交于点，求出，，即可得到函数及诶小时；再利用导数求函数取最大值时的值. 【详解】 设与相交于点，与相交于点，依题得，，， 则， 由得， 所以， 即. 因为， 所以， 令，解得或（不合题意，舍去）， 由得， 设，则，则， ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值． 故答案为：； 13．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【分析】（1）由题设得，应用作差法比较大小； （2）（i）由（1）及球体、圆柱的表面积求法，写出函数表达式，注意定义域；（ii）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得. 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 14．某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； (2)年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)， (2)6，最大利润为万元. 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）， （2）当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 15．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据汽车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域； （2）求导讨论单调性即可. 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以 （2） 当时，当时，， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，最小； 当时，，单调递减，当时，最小； 综上：当时，应该以千米/小时行驶； 当时，应该以千米/小时行驶 16．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 1．某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）能完成 【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得； （2）（i）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得； （ii）利用全概率公式求得 ， ，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有 . 【详解】（1）随机变量 表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， ∴，，，； （2）（i）由于 取离散整数值，分析条件 ， 故：， 概率总和为 1：，代入得， 解得； （ii）事件：一个家庭单月节省电量总和至少为 4 度，即总节省电量 . 总节省电量 ，其中 独立同分布于 ， 与 独立. 由（1）知，故 的分布为：，，，， 计算 ： 若，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若，则，需. 计算 ： ：，概率 ： 或 ，概率 ， 故，所以 ， 若，则，需. 计算 ： 仅当所有 ，概率 ， 故， 则： . 设函数 ， . 求导得， 令，则，为开口向下的抛物线， ∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵当 ，， 当 ，， ∴在 内 恒成立， 因此，对任意，有 ，即政府目标总能完成. 2．在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"均垂直于底面，且满足关系.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.    (1)求蜂房"上顶"的"曲率"； (2)若图2所示的蜂房满足，求的余弦值； (3)若蜂房的底面正六边形边长，"侧棱"，求当蜂房的表面积最小时，顶点的"曲率"的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据"曲率"的定义，分析各个点处的曲率，然后求解出结果； （2）连接，过作交于点，根据长度和角度计算出，然后在中根据余弦定理结合平方和关系求解出； （3）先表示出蜂房的表面积，然后利用导数求解出取最小值时的长度，根据的长度逐步计算出的余弦值，结合恒等变换公式可求解出顶点的"曲率"的余弦值. 【详解】（1）蜂房"上顶"的"曲率"等于顶端三个菱形的个顶点的"曲率"之和， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"与顶点处的"曲率"相同， 在顶点处的"曲率"与顶点处的"曲率"相同， 根据定义，蜂房"上顶"的"曲率"等于减去三个菱形的内角和，再减去个直角梯形中的个非直角内角和， 所以蜂房"上顶"的"曲率"为. （2）由题意可知为钝角，连接，过作交于点，如图所示， 设正六边形的边长为，所以， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以四边形为矩形，所以， 所以，所以， 所以， 在中，， 所以，化简可得， 所以，解得(舍去)， 所以的余弦值为.    （3）设蜂房的表面积为，设， 在菱形中，连接，如下图，    且， 因为， 所以， 所以， 所以菱形的面积是， 又因为侧面是六个全等的直角梯形， 所以侧面积为， 又底面积为， 所以， 所以，令，解得(舍去)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，此时， 所以，； 设，则，顶点的"曲率"为， 因为， 所以 . 小造价. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.7导数的应用 基础达标题 导数的性质 能力提升题 拓展培优题 基础达标题 1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.ABD 7.BD 8.AB 9.1024 10.3 11.0.047 12.5 13.【详解】由题意可设总费用为f()且xe50,101,则行车的时间为150 于是/0m)-1506+。)x8+150x40-9600+24 X 3501 x 7 则f)-9600+24-24-2800,由/0=0，得x=207, x271 7x2 当x∈50,20W7）时，f"(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈20V7,100时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 故当x=20v7≈52.92≈53时，∫(x)取得极小值，也是最小值 14.【详解】(1)设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为年x0<x<子， 4 ÷两个正方形的面积和5=+（合=2-复+行 216 (2)由(1)得S=4x- ·x=。时S=0, 8 故当0<x发时，了<0，s单调递减：当。<r<时，S>0,S单调逻端 :当x=时，S的极小值也是最小值为写，此时另一个正方形的边长也为号 8 32 综上，当两段铁丝的长度都为。时，它们的面积和最小 15.【详解】(1)由题意可知，当x=5时，fx=12,即8+8=12， 试卷第1页，共3页 解符a=8,所以-与+8-0 (2)设该商场每日销售A系列所获得的利润为L(x),则 L(=(x-3 [g+8r-6 =8+8(x-3(x-6)(3<x<6), L'(x=24x-6)(x-4, 令L'(x)=24(x-6(x-4=0,得x=6(舍去)或x=4, 所以当3<x<4时，L'x>0,L(x在3,4)为增函数； 当4<x<6时，L'(x<0,Lx在(4,6为减函数， 故当x=4时，函数L(x)在区间(3,6)内有极大值点，也是最大值点， 此时L(4)=40元. 所以当销售价格为4元/千克时，A系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元 133 16,【详解】D格E40代入2000+8，得y=00×40-0×40+8=7, 80 所以从甲地到乙地要耗油7×10_35升 402 (2)设从甲地到乙地耗油为z,则z 100v=100(1x2-3 x+8 x（12800080 化简得z=1 x2+80015 0<x≤120)， 1280 而z= 2 8002x3-512000 -x- 1280x2 1280x2 当0<x<80时，z'<0,zx单调递减； 当80<x≤120时，z'>0,zx单调递增， 则当x=80时，到取得最小值，此时z(80)=45 41 ■当汽车速度为80千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为5升一 B 能力提升题 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.AD 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.AD 8.ABC 9.8 10.24.30 11.6W2-3 12f(x)=15000sin2x-10000W3sinx 6 13【详解】0由题设知+7-g则1-智 2 、所以-4r164r416(，而0<≤1， 3r23 1 所以方212r,则方-r20,故1≥4r: (2)D由)，1=3远3=32-，且0<rs1, 所以y=2πrlt+2×4πr2=2πt×4( 持-n+m2=号+r0-.且re0: 3r @由符y=160-3=16x=-之，0cr31 3r2 令y=0台6-r2=21分r=24∈0，l川， -3-t 所以0<2≤1，可得0<161， 3-t 当0<1<1时， 若0<r< 2时，y<0,则y在03 V3-t1 21)上单调递减， 2t 若 <r<1时，y>0,则y在32”上单调递塔， 2t 3-1 此时r= 2t时有yma5 V3-t 当1≤t<2时，在(0,1]上y≤0恒成立，即y在(0，上单调递减，此时r=1时取ymim; 综上， 0<t<1时r= 2t 该容器的总建造费用最少； 3-t 1≤t<2时r=1,该容器的总建造费用最少 1 x2+4x-10,0<x≤4 5 14.【详解】(1)gx=10x-10-f(x) 123 ’x∈N 45-3x+ ,x>4 1 (2)当0<x≤4时，g(x)=-x2+4x-10, 5 由对称轴x=10知gx)在x∈(0,4递增，g(x)≤g(4=2.8 试卷第1页，共3页 当>4时，g=45-+空）55-23区-45-6m 当且仅当x=√41时等号成立， 而√41EN,由V41∈(6,7)， 16号87-9号928 所以当=6时，8到号 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元 15.【详都】(1)由题意琴，每小时运输成木为口+小全程行驶时间为1小时，所以 y=1000/ =10000+2,ve0,120 200 y200 v3-100a (2)y'()=1000 -2100 =1000 100v2 当100a<120,0<a<17280时，当v=100a时，y'=0, 当0<v<100a时，y<0,y单调递减， 当100a<v<120时，y>0,y单调递增， 所以当v=100a时，y最小： 当100a≥120，a≥17280时，y≤0，y单调递减，当v=120时，y最小： 综上：当0<a<17280时，应该以100a千米/小时行驶； 当a≥17280时，应该以120千米/小时行驶 16.【详解】(1)以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则A100,0),C(50,50,B(0,100) 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B F D C 0 E A x 设曲线段BC所在抛物线的方程为y=ax2+b(a<0) 由题意可知，点B(0,100)和C(50,50)在此抛物线上， 故a=-0.02,b=100 所以曲线段BC的方程为：y=-0.02x2+100(0≤x≤50 (2)由题意，线段AC的方程为y=-x+10050≤x≤100). 当点D在曲线段BC上时，S=x-0.02x2+100)(30≤x≤50). 当点D在线段AC上时，S=x-x+100)(50≤x≤70 x-0.02x2+100),30≤x≤50 所以f(x)= x(-x+100),50≤x≤70 3)当30≤≤50时，/x=-0.06r2+100,令-0062+10=0，得5-506,5=-506（舍去） 3 3 当xe[3006时，>0：当xe 3 s可4r0 因此当x=506时，S=f 50v6 10000W6 3 3 9 是极大值，也是最大值 当50<x≤70时，f(x)=-(x-50)2+2500 当x=50时，S=f(50)=2500是最大值 因为1000W6>250 9 所以当x=506时，S取得最大值，此时D 50W6200 3 3’3 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 试卷第1页，共3页 拓展培优题 1.【详解】(1)随机变量X表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， 1上m+0+m-广+5m=1,mpp=0,m-p=0m=p, m二1； 21+p1+p2 1+p (2)(①由于y取离散整数值，分析条件PY<)=0,P(Y<2)=2: 1 故：A=PY=I=PI≤Y<2)=PV<2)-PY<)=2' 1 1 解得P,=4 ()事件A:一个家庭单月节省电量总和至少为4度，即总节省电量S≥4. 总节省电量S=∑y,其中y独立同分布于y,X与y独立 D知m=p,改X的分布为：PX=0=,PX=nPX=2)卫 2 PX= 计算P(S24Xek): 若X=0,则S=0<4,故P(S≥4X日0)=0， 若X=1,则S=X,故PS24Xe=P0Y≥=PY=4+PW=5)6+68 若X=2,则S=y+Y2,需P(Y+Y224) 计算P(S<4)=P(S≤3： 5=2:=:率=AA=付- S=3:L,2)或(2，，概率=n,+,R=2}}-, 244 故Ps≤}日所以As4X82)=1-日 221 若X=3,则S=Y+Y2+Y,需P(S≥4) 计算P(S<4)=P(S≤3)： 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故P(S24Xe3)=1-1=7. 1-88 则：P4=PS≥4=2PS≥4Xek)PX=) =0 =0-PX=0+PX=+PX=2+PX- g。"-装g278 设函数f(p)=P(A)，p∈(0,1)· 求导得f"p)=9p1+p-3p-12p-17p+2p, 81+p2 16(1+p2 令gp)=-12p3-17p2+2p+1,则g'（p)=-36p2-34p+2,为开口向下的抛物线， :g'(0)=2>0,g'1=-68<0,.存在唯一的实数9∈(0,1)，使得g(9=0,且(0,9内g'(p)>0,g(p)单 调递增，（9,1内g'p)<0,gp)单调减， 又：g0)=1>0,g1=-26<0,存在唯一的实数r∈(0,1)，使得g(r)=0,且(0，r)内g(p)>0,fp)单 调递增，r,1内gp)<0,f(p)单调减， 又当p→0，P0→6=04875>03， 当p→，P40→5=0.3125>0.3， 16 :在0，D内P(A0>5>0.3恒成立， 16 因此，对任意p∈(0,1)，有P()>0.3,即政府目标总能完成 2.【详解】(1)峰房"上顶"的"曲率"等于顶端三个菱形的7个顶点的"曲率"之和， 在顶点S处的"曲率"为2π-（∠ASC+∠CSE+∠ESA, 在顶点A处的"曲率"为2π-LSAK+∠SAH+∠KAA,+∠HAA), 在顶点H处的"曲率"为2π-（∠AHC+∠AHB,+∠CHB,), 在顶点C,E处的"曲率”与顶点A处的"曲率"相同， 在顶点J,K处的"曲率"与顶点H处的"曲率"相同， 试卷第1页，共3页 根据定义，峰房"上顶"的"曲率"等于7×2π减去三个菱形的内角和3×2π，再减去6个直角梯形中的2个非直 角内角和6×元， 所以峰房"上顶"的"曲率"为7×2π-3×2π-6×π=2π (2)由题意可知O为钝角，连接AC,AC,过H作HG⊥AA交AA于G点，如图所示， 设正大边形的边长为a,所以4G=24cos=a, 因为AA,/1CC,AA,=CC,所以四边形AA,CC是平行四边形， 所以AC=A,C,=V5a, 因为AA,HB,⊥平面A,BCDE,E, 所以AA1A,B,HB⊥AB,所以∠GAB=∠ABH= 2 因为HG1A4,所以∠HGA=∠GAB=∠ABH=交 所以四边形GA,B,H为矩形，所以GH=A,B,=a, 所以4Hcos乙4HG=GH=d,所以4Hcor0- AH sin0=a, 所以AH=CH= a sin' 在△AHC中，AC2=AH2+CH2-2AH.CH·cos0, 所以3a2=a+a2 Sim0+n20-2siW2gcos0,化简可得3sin20=2-2cos日 所以3-3cos0=2-2cos0,解得os0=c0s0=1舍去劫 所以θ的余弦值为3 1 C A H C B (3)设蜂房的表面积为S(x),设B,H=x∈(0<x<2), 在菱形SAHC中，连接AC,SH,如下图， 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H 且AC=√3，GH=A,B,=1, 因为AG=AA-AG=AA,-B,H=2-x, 所以AH=VG+AG2=V2-x2+1, 所以SH=2 m-(-22-+ 所以菱形54HC的面积是明1C-52-+好 2 又因为侧面是六个全等的直角梯形， 所以侧面积为2+x×1 ×6=3(x+2), 又底面积为5×1x6=35 4 2 所s=52-+<2, 所以S()= 6B2型x0,解x=2见2金 2- 4 4 当-9 时，S'(x)<0,S(x单调递减， 此时BH=2- 4 所以AG=CH=2-BH=,4H=VAG+Gm_3 4 设∠ASC=a,则∠AHC=a,顶点S的"曲率"为2π-3a, 99 因为cosa=cos∠AHC=4H+CH2-AC2 3 88 1 2AH.CH 2x32x32=3 44 试卷第1页，共3页 所以cos2π-3a=cos3a=cos2a+a=cos2 a cosa-sin2 a sina =(2cos2a-1)cosa-2sin2a cosa =2cosa-cosa-2(1-cos2a)cosa -4oos'a-3c0sa 小造价。 试卷第1页，共3页 2.7导数的应用 1．某箱子的体积V与底面边长x的为，则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为（    ） A．30 B．40 C．50 D．55 2．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（   ）可使其体积最大. A． B． C． D． 3．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 4．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 5．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 7．（多选）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 8．（多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 9．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 10．如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 11．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运_______年，可使其营运年平均利润最大，最大利润为_______万元． 13．已知两城市的距离是150 km，根据交通法规及省油原则，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是8元/L，以 km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，其他费用是40元/h.当车速是多少时，才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h，参考数据：) 14．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， (1)设一个正方形的边长为，用函数关系式表示两个正方形的面积和 (2)要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 15．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 16．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 1．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 2．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 3．路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 5．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 6．（多选）如图，直线AB与半径为1的圆C相切于D点，射线DB绕着D点逆时针方向旋转到DA，在旋转过程中射线DB交圆C于E点，设，，射线DB扫过圆C内部（阴影部分）的面积为，则（    ） A． B．，当 C．直线为的对称轴 D．在瞬时变化率最大 7．（多选）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 8．（多选）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥铁架，则此三棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 9．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 10．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 11．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径____ 12．如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设． （1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围）______． （2）当取最大值时，求的值为______． 13．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 14．某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； (2)年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 15．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 16．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 1．某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 2．在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"均垂直于底面，且满足关系.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.    (1)求蜂房"上顶"的"曲率"； (2)若图2所示的蜂房满足，求的余弦值； (3)若蜂房的底面正六边形边长，"侧棱"，求当蜂房的表面积最小时，顶点的"曲率"的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $