福建省厦门第一中学人教版高一全国数学联赛班秋季讲义：第三讲 函数的基本性质

第三讲 函数的基本性质 本讲概述 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. I．函数的定义 设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C B. II．函数的性质[来源:Zxxk.Com] （1）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间. （2）函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数. III．函数的周期性 对于函数​ f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期. 函数的单调性、奇偶性、周期性是最为重要和常用的.本讲将分三个板块来分别探讨其应用.在很多时候，我们可能需要综合运用这几个性质来解决某个复杂的问题.[来源:Z。xx。k.Com] 例题精讲 板块一 函数的单调性 函数单调性问题主要包括： 1、 确定某个具体函数的单调区间（或者证明函数在给定区间上的单调性）；这主要通过图象法、不等式方法来给出证明；有时我们也基于某些熟知的函数的单调性得到所给函数的单调性；以后我们学习了导数方法之后会发现导数方法才是解决函数单调性问题的终极利器； 2、 对一个抽象函数利用单调性来解题； 3、 主动构造某个单调函数来化简复杂的不等式问题； 【例1】 函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围. 【例2】 求函数 的单调区间，并求它的最小值 【例3】 已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝