高一数学月考卷02（人教A版2019，测试范围：必修第二册第六章～第九章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A C D A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得， ，解得. …………………………4分 （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生， 这名学生课外阅读时间少于小时的频率为. …………………………8分 （3）由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意，是的中点， 则， …………………………2分 因为，所以， …………………………4分 则. 所以，. …………………………5分 （2）因为，所以. 因为，， 所以， …………………………7分 又因为， …………………………9分 所以，，解得. …………………………11分 所以，，则， …………………………13分 所以. ………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）因为， 所以．    …………………………2分 又为锐角三角形，故， 则．    因为，所以． …………………………4分 又，故． …………………………5分 （2）由正弦定理得，    则，．    …………………………7分 由（1）知，则． 所以 …………………………9分 ， …………………………11分 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以， …………………………13分 所以当时，即时，取得最大值．…………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）    连接， 因为底面为正八边形，所以， …………………………2分 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， …………………………4分 平面， 所以平面， …………………………6分 又平面，所以. …………………………7分 （2）连接， 因为， 由正八边形的性质可得，， 为到底面的距离，， 所以， …………………………9分 由勾股定理可得，， 又，所以， …………………………11分 又，所以， …………………………12分 因为， 所以，即， …………………………14分 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. …………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）设，连接， 由菱形可得，而，故， …………………………1分 而，故为等边三角形，故， …………………………2分 因为，，，故， 所以，而，故， …………………………3分 因为，平面，故平面， …………………………4分 而平面，故平面平面， 故的二面角的平面角为直角，而， …………………………5分 …………………………7分    （2）依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 由（1）及三面角公式可得， …………………………8分 因为，所以， 又，所以； …………………………9分 若不过点时，过点作使得， 记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， …………………………11分 又，所以； 综上可得. …………………………12分    （3）连接，，    因为，平面，平面，所以平面，……………………13分 同理可证平面，又，平面， 所以平面平面， …………………………14分 因为平面平面，而平面，所以平面平面， 又平面平面，又平面平面， 所以，又即， …………………………16分 所以四边形为平行四边形，所以，而在的延长线上， 因为，所以， 所以，即. …………………………17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章——第九章. （第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步、第九章统计） 5．难度系数：0．65． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D. 2．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度．已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（    ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【答案】B 【解析】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知， 解得，故中年人比青少年多9人，故选B. 3．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，，若，则， 即，解得或，因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件，故选A. 4．年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【解析】A. 由图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确，故选C 5．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【答案】D 【解析】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为，故选D. 6．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【解析】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为，故选A 7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史．如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高则圆台上下底面面积为 故选C. 8．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值， 则，所以是等边三角形，取的中点，    则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（   ） A．这组数据的平均数为49 B．这组数据的标准差为8 C．这组数据的第20百分位数为42 D．这组数据的极差为25 【答案】BC 【解析】平均数为，故A错误； 方差为，，故B正确； ，则第20百分位数为，故C正确； 极差为，故D错误，故选BC 10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【解析】对于A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的斜二测直观图如图所示，则的面积为 . 【答案】2 【解析】由题意，的斜二测直观图的面积， 所以的面积. 13．南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ． 参考数据：． 【答案】 【解析】在中，由图可知，， 由正弦定理可得：，又因为，解得， 在中，由图有，， 则由正弦定理可得：， 解得. 14．三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为 ． 【答案】 【解析】 因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图， 由余弦定理得,得， 故,在中,, 用正弦定理得,得到， 在中，, 用正弦定理得, 得到， 用差角的正弦公式得：， 得， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 【解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得， ，解得. …………………………4分 （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生， 这名学生课外阅读时间少于小时的频率为. …………………………8分 （3）由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）………………13分 16．（本小题满分15分）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 【解】（1）由题意，是的中点， 则， …………………………2分 因为，所以， …………………………4分 则. 所以，. …………………………5分 （2）因为，所以. 因为，， 所以， …………………………7分 又因为， …………………………9分 所以，，解得. …………………………11分 所以，，则， …………………………13分 所以. ………………………15分 17．（本小题满分15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 【解】（1）因为， 所以．    …………………………2分 又为锐角三角形，故， 则．    因为，所以． …………………………4分 又，故． …………………………5分 （2）由正弦定理得，    则，．    …………………………7分 由（1）知，则． 所以 …………………………9分 ， …………………………11分 因为为锐角三角形， 所以，所以， 所以， …………………………13分 所以当时，即时，取得最大值．…………………………15分 18．（本小题满分17分）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【解】（1）    连接， 因为底面为正八边形，所以， …………………………2分 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， …………………………4分 平面， 所以平面， …………………………6分 又平面，所以. …………………………7分 （2）连接， 因为， 由正八边形的性质可得，， 为到底面的距离，， 所以， …………………………9分 由勾股定理可得，， 又，所以， …………………………11分 又，所以， …………………………12分 因为， 所以，即， …………………………14分 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. …………………………17分 19．（本小题满分17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则． 如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：； (3)在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值． 【解】（1）设，连接， 由菱形可得，而，故， …………………………1分 而，故为等边三角形，故， …………………………2分 因为，，，故， 所以，而，故， …………………………3分 因为，平面，故平面， …………………………4分 而平面，故平面平面， 故的二面角的平面角为直角，而， …………………………5分 …………………………7分    （2）依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 由（1）及三面角公式可得， …………………………8分 因为，所以， 又，所以； …………………………9分 若不过点时，过点作使得， 记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， …………………………11分 又，所以； 综上可得. …………………………12分    （3）连接，，    因为，平面，平面，所以平面，……………………13分 同理可证平面，又，平面， 所以平面平面， …………………………14分 因为平面平面，而平面，所以平面平面， 又平面平面，又平面平面， 所以，又即， …………………………16分 所以四边形为平行四边形，所以，而在的延长线上， 因为，所以， 所以，即. …………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章——第九章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（    ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 3．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 5．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 6．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（   ） A．这组数据的平均数为49 B．这组数据的标准差为8 C．这组数据的第20百分位数为42 D．这组数据的极差为25 10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 11．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的斜二测直观图如图所示，则的面积为 . 13．南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ． 参考数据：． 14．三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 16．（本小题满分15分）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 17．（本小题满分15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 18．（本小题满分17分）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 19．（本小题满分17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则． 如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：； (3)在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章——第九章. 5．难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（    ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 3．已知，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 5．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 6．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（   ） A．这组数据的平均数为49 B．这组数据的标准差为8 C．这组数据的第20百分位数为42 D．这组数据的极差为25 10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 11．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的斜二测直观图如图所示，则的面积为 . 13．南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ． 参考数据：． 14．三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 16．（本小题满分15分）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 17．（本小题满分15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 18．（本小题满分17分）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 19．（本小题满分17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小为，则． 如图2，四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，且．    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，直线与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：； (3)在图2中，过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，求的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$