福建省厦门第一中学人教版高一全国数学联赛班秋季讲义：第二讲 一元二次函数

第二讲 一元二次函数 本讲概述 一元二次函数部分在目前竞赛中所占比重不算太大。其主要出现在各省市预赛与联赛一试填空题中。若在一试填空题中出现，一般都是与其它函数如对数、指数函数或绝对值函数、分式、根式方程等相联系、复合以增加复杂度。 其考察难度与高考基本相同。但值得注意的是，在部分省市的高考压轴题中往往可能出现较为复杂的与一元二次函数乃至三次函数相关的问题，但北京市基本上不这么考。只有各中学或各区自己命题时有时会考到。但是，作为高考和竞赛的一个基础性内容，毋庸置疑本讲是每一位同学都必须滚瓜乱熟地掌握的。 本讲内容以基础性问题为主，更为复杂的问题将在函数综合、代数复习等讲中出现。每一讲板块的划分是很粗糙的，因为的确有很多问题难以划分到某个板块中去，而将板块进一步细分也没有必要。 事实上，一元二次函数、一元二次方程、抛物线图象是从三个不同侧重点来研究同一个问题，因此本讲还包含部分一元二次方程及不等式问题。 例题精讲 板块一 二次函数解析式 求二次函数解析式是最基本的题型，其主流方法是用待定系数法，一般设法有： 根据题目特点设相应的形式往往能够简化计算.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 【例1】 设二次函数f(x)在区间 上的最大值为12，且关于x的不等式f(x)<0的解集为（0,5），求f(x)的解析式. 【例2】 关于x的方程 有两个不等的负整数根，求a. 【例3】 已知a为正整数，抛物线 过点A(-1,4),B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点.求（1）a的最小值；（2）b+c的最大值. 【例4】 若对任何实数p,抛物线 都通过一定点，求此定点的坐标. 【例5】 考察抛物线族： ，它们中每一个都与x轴有3个交点，作其外接圆，证明：所有这些圆过一定点. 板块二 最值与值域 对于一般一元二次函数而言，当二次项系数大于零时，最小值对应点为 .但对具体题目特别是含参变量的二次函数，往往需要经过分区间讨论并对比图象得到具体的最值或值域.当与其它函数相复合时，问题往往会更为复杂. 【例6】 已知 ， . 求f(x)的最小值g(a)的表达式，并求g(a)的最大值. 【例7】 已知 ，试求实数m,n使得f(x)的定义域为 时，对应值域为 . 板块三 零点的分布与韦达定理 函数的零点即函数对应方程的根.讨论零点的分布一般需要讨论对称轴、判别式以及某函数值的正负等，其手