专题1.4 集合及其运算-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

1.4 集合及其运算 1．集合的概念 在初中数学中，经常按类来研究事物，例如，代数中的自然数、整数、有理数，以及平面几何中的三角形、四边形、五边形．在现实生活中，也经常需要把事物分类来看，例如，在学校中，按照年级分类，全体高一年级学生是一类人群，全体高二年级是另一类人群． 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，… 表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…. 表示． 例如，正整数1，2，3可以组成一个集合，1，2是它的部分元素；全体正奇数也可以组成一个集合，1，3，5是它的部分元素． 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，一个集合确定后，任何一个对象在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～10之间的偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，… 不是它的元素． 如果如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ； 如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 ． 规定：一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A．某班个子较高的同学 B．相当大的实数 C．我国著名数学家 D．倒数等于它本身的数 变式1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【例2】用符号“ ”或“ ”填空 （1）设 为所有亚洲国家组成的集合，则： 中国____ ，美国______ ，印度_____ ，英国______ ． （2）若 的解集记为 ，则 ______ ； （3）若 的解集记为 ，则 ______ ； （4）所有满足 的整数 组成的集合记为 ，则 ____ ， ____ ． 【归纳总结】对于任何一个元素 和任意一个集合 ，元素 要么在集合 中，要么不在 中，只有这两种关系．这是集合元素的第一个特性：确定性． 一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现．例如，若 ，则 ，这是集合元素的第二个特性：互异性． 2．集合的表示 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ 集合的表示方法常用的有列举法、描述法． 列举法是把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法． 例如，“地球上的四大洋”可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程 的所有实数根”组成的集合可以表示为 ． 例如，20以内的所有素数组成的集合C用列举法可以表示为 ． 用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同．例如， 也可以写成 ， ， ， ， ．这些都表示同一个集合． 【归纳总结】集合中的元素没有一定的顺序．例如集合 ，集合 也可以写成 ， 等等．这体现了集合元素的第三个特性：无序性． 【例3】用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程 的解． 有时，无法将集合中的元素一一列举出来．例如，你能用描述法表示不等式 的解集吗？显然不能，这时，可以用描述法表示集合． 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫做描述法． 一般可将集合表示为 ，即在花括号内先写上集合元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 格式为： ，其中 表示该集合的代表元， 表示该集合中所有的元素具有性质 ． 例如，不等式 的解集可以表示为： ． 任何偶数都可以表示成 ，所以所有偶数组成的集合我们可以记为 ． 函数 图象上的所有点组成的集合可以表示为 ． 实数集 中，有限小数和无限循环小数都具有 ( ， )的形式，这些数组成有理数，我们将其表示为： ． 【例4】用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程 的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合． 约定：如果从上下文的关系看， , 是明确的，那么 , 可以省略，只写其元素 ．例如，集合 ，可以写成 ；集合 ，可以写成 ． 含有有限个元素的集合叫做有限集，如 ；含有无限个元素的集合叫做无限集，如整数集 . 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作 ．例如，集合 和 都是空集． 图示法 ①数轴表示，例如，不等式 的解集为 ，可以表示为 ②坐标平面表示法（用点和图形来表示） ③用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“1～20以内所有的素数”，如上图． 设 ， 是两个实数，而且 ，则集合 等也可以用下表中的区间符号 等表示． 这里的实数 与 都叫做相应区间的端点， 称为闭区间， 称为开区间