专题2.7 分式不等式和特殊的高次不等式的解法-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.7 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 1．简单分式不等式的解法 【例1】 解不等式： ． 小结：（1） ； （2） ； 变式1：解下列不等式： (1) (2) 【例2】解不等式 ． 说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． 变式1：解下列不等式 （1） （2） （3） 归纳小结：解分式不等式的一般步骤是：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式，然后转为 ． 2．简单的高次不等式的解法 【例3】解不等式： ； 解法一（列表法）：①检查各因式中 的符号均正； ②求得相应方程的根为： ，1，3； ③列表如下： -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为： ． 小结：此法叫列表法，解题步骤是： ①将不等式化为 形式（各项 的系数化为正数），令 ，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分， 个分界点把数轴分成 部分……； ②按各根把实数分成的 部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集． 解法二：（穿根法） ① 的根是 ，1，3，在数轴上表示这三个数， ②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点 ③若不等式（ 的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在 轴上方的区间； 若不等式是“< 0 ”,则找“线”在 轴下方的区间. 由图可知，原不等式的解集为： ． 小结：此法叫穿根法，解题步骤是： ①将不等式化为 )形式，并将各因式 的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（ 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在 轴下方的区间． 注意：奇穿偶不穿 【例4】 解不等式： 说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式 时， 为奇数时，曲线在 点处穿过数轴； 为偶数时，曲线在 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ． 变式1：解不等式： 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉． 变式2：解不等式 （1） （2） （3） 1．解下列不等式： （1） （2） （3） （4） （5） 2．解下列不等式： (1) （2） （3） （4） 3．解下列不等式： 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 2.7 分式不等式和特殊的高次不等式的解法（解析版） 1．简单分式不等式的解法 【例1】 解不等式： ． 解：解法1：化为两个不等式组来解： ∵ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 x∈φ或 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， ∴原不等式的解集是 ． 解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． ∵ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， ∴原不等式的解集是 . 小结：（1） ； （2） ； 变式1：解下列不等式： (1) (2) 解：（1）原不等式可化为： ，所以原不等式的解集为 ． (2) ∵ ，原不等式可化为： ，所以原不等式的解集为 ． 【例2】解不等式 ． 解：原不等式可化为： ，所以原不等式的解集为 ． 说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． 变式1：解下列不等式 （1） （2） （3） 解：（1） ，所以原不等式的解集为 ． （2） EMBED Equation.DSMT4 ，所以原不等式的解集为 ． （3）当 时，原不等式可变为 ，解得 ， 当