专题3.2 函数的单调性与最值-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

3.2 函数的单调性与最值 函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此要研究函数的性质 1﹒函数的单调性 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 思考1：随x的增大，y的值有什么变化？ 思考2：观察 和 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ （1） ① 从左至右图象上升还是下降? ②在区间 ____ _______ 上，随着 的增大， 的值逐渐__增大______ ． （2） ①在区间 ____ ___ 上，随着 的增大， 的值逐渐_减小_______ ． ②在区间 ____ ____ 上，随着 的增大， 的值逐渐__增大______ ． 如何利用解析式 描述“随着随着 的增大，相应的 的值随着增大”？ 在区间 上，任取两个 ，得到 ，当 时，有 ，这时我们就说函数 在 上是增函数． 1.1 单调递增函数 　　设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内的某个区间 内的任意两个自变量 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是增函数． 图1 单调增函数 图2单调减函数 几点说明： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量 ，当 时，都有 ． 1.2单调递减函数 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内的某个区间 内的任意两个自变量 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是减函数． 【例1】 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 是增函数还是减函数. 练习1 画出函数 的图象，并指出它的的单调区间． 【例2】证明：函数 在 上是增函数． 小结：利用定义证明函数 在给定的区间 上的单调性的一般步骤： ①取值： 任取 ，且 ； ②作差： ； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差 的正负）； ⑤下结论：（即指出函数 在给定的区间 上的单调性）． 【例3】物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 练习1：利用单调性的定义判断 在 上的单调性 【例4】 设函数 ，证明： 在 单调递减；在 上单调递增． 练习1：证明 在R上的单调递减 【例5】若函数 在 上是减函数，求 的取值范围 练习1：函数 在 上是减函数，则 ______ （比较大小）. 练习2：若函数 在 上是减函数，则 的取值范围是__________ 练习3：讨论函数 在 内的单调性. A 组 1．在区间 上不是增函数的函数是（ ） A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y= D．y=2x2＋x＋1 2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则f(1)等于（ ） A．－7 B．1 C．17 D．25 3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ） A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) 4．若 是 上增函数，对于任意的 ( )，下列结论不正确的是( ) A． B． C． D． 5．函数 的递增区间依次是 （ ） A． B． C． D B 组 1．已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ） A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 2．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 3．若 是R上增函数，且 ，则 的大小关系为___________ 4． 是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且 （1）求f(1)的值． （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f( ) ＜2 ． 5．设f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围． 2.函数的最值 2.1 函数的最大值 一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数M满足： （1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 . 那么，我们称M是函数 )的最大值（maximum va