专题05 平面向量-备战2020年高考数学（文）之纠错笔记系列

专题05 平面向量 易错点1 忽略了零向量的特殊性 给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等. ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反. ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. ④零向量与任意数的乘积都为零. 其中不正确命题的序号是 . 【错解】④ 【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 【试题解析】①与是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④. 【参考答案】②④ 解决向量的概念问题应关注六点： （1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. （2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. （3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关. 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量. （4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. （5）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小. 1．下列说法正确的是 A．若与都是单位向量，则= B．若=，则||=||且与的方向相同 C．若+=0，则||=|| D．若=0，则与是相反向量 【答案】C 【解析】因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以A不正确;因为0的方向是任意的，当时，B不正确;因为，所以，所以，故C正确;因为，所以，与不是相反向量，故D不正确.所以选C. 【名师点睛】本小题主要考查两个向量相等的充要条件，即大小和方向均相同.还考查了零向量的概念，零向量长度为零，方向任意.属于基础题. 易错点2 忽视平行四边形的多样性失误 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标. 【错解】设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）. 【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形. 【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）. 1 若四边形ABCD1为平行四边形，则=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）. 由=，得，∴，∴D1（－3，－5）. 2 若四边形ACD 2B为平行四边形，则=.而=（4，0），=（x－1，y＋5）. ∴，∴，∴D2（5，－5）. ③若四边形ACBD3为平行四边形，则=.而=（x＋1，y），=（2，5），∴，∴，∴D3（1，5）. 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）. 1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标． 2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. 2．已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形，∵为的中点，∴为对角线与的交点， 则，则， 故选：B． 错点3 忽视两向量夹角的范围 已知向量 （1）若为锐角，求的取值范围； （2）当时，求的值. 【错解】（1）若为锐角，则且不同向. ，∴. （2）由题意，可得， 又， ， 即， 解得或. 【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况； （2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．. 【试题解析】（1）若为锐角，则且不同向. ，∴. 当时，同向,. 即若为锐角，的取值范围是{x|且}. （2）由题意，可得， 又， ， 即， 解得或. 【参考答案】（1）{x|且}；（2）或. 1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． 2.两向量夹角的范