2019浙大优学全国高中数学竞赛春季期末卷·二试

2019 年浙大优学高中数学竞赛春季期末卷二试答案 一、（本小题满分 40 分） 证明：联结 AC、AD、AE、AF、DF. 由 ADB AFB  , ACB AEF  及CD EF ACD AEF AD AF ADF AFD ABC AFD ADF ABF            AB 是 CBF 的角平分线. 联结 CM、FN.因为 M 是弧PB的中点，所以，CM 是∠DCF 的角平分线. 同理，FN 是∠CFB 的角平分线. 于是，BA、CM、FN 三线共点.设交点为 I. 在圆 1 2 、 中，由圆幂定理得CI IM AI IB AI IB NI IF     ， ,于是 NI IF CI IM   ，从而 C、F、M、N 四点共圆. 二、解：所求 n 为所有与 6 互素的正整数。 由{ |1 }ip i i n   为mod n的完全剩余系，得： 1 1 1 1 1 ( ) 2 (mod ) n n n n n i i k i i i k k p i p i k n               则有 1 ( 1) ( 1) 0(mod ) 2 2 n k n n n n k n n        2 不整除 n； 又由{ |1 }ip i i n   为mod n的完全剩余系，得： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ( ) ( ) ) ( 2 2 ) 4 ( m o d ) n n n n i i i k i i k k p i p i p i k n               1 浙大优学 故 2 1 ( 1)(2 1) 2 0(mod ) 3 n k n n n k n      ，从而 ( 1)(2 1) 3 n n n n    3 不整除 n； 综上可知 ( ,6) 1n  。 另一方面，若 ( ,6) 1n  ，取 2 ( m o d ) , {1, 2 , , }i ip i n p n  ，则 1 2( , , , )np p p 为 (1,2, , )n 的一个置换。又{ |1 } {3 |1 }ip i i n i i n      及{ |1 } { |1 }ip i i n i i n      均为mod n的完全剩余系，所以这样的 n 满足要求。 三、（本小题满分 50 分） 证明：令 1 1 max , maxi i i n i n X a Y b       ，分别用 ' ' '/ , / , /i i i i i ia a X b b Y c c XY   代替 , ,i i ia b c ，因此我们可以假设 1X Y  . 下面我们证明 2 2 1 1n n nm c c a a b b         (*) 故 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 n n nm c c a a b b n n n          由平均不等式即得所需结论. 我们将证明 0,(*)r  中左边大于 r 的项不少于右边，因此对每个 k，左边第 k 大的项 不小于右边第 k 大的项.这就证明了(*). 若 1r  ，则(*)右边没有大于 1 的项； 若 1r  ，则由于 1X Y  ，故必存在 ,i j 使得 ,i ja r b r  ，从而可设共有 个 ia 使 得 ia r ，不妨设 1 2 ...i i ia a a r    ，共有 个 jb 使得 jb r ，同理设为 1 2 ...j j jb b b r    ，则 1 1 1 2 1 2... ...i j i j i j i j i jm c c c c c r               ，所以在(*) 中左边至少有  项大于 r ，而右边只有  项大于 r ，(*)得证. 四、（本小题满分 50 分） 证明： 我们先证明两个引理． 引理 1 当 n≥m 时，如果 n 个棋手的赛况具有性质 P（m），则必有一个棋手全胜． 当 n＝m 时，命题显然成立． 假设命题对 n 成立，则对 n＋1 个棋手，从中任取 n 个棋手，由归纳假设，这 n 个棋手 中必有一个棋手全胜，不妨设 A1，A2，…，An中 A1全胜． 对另一个棋手 An＋1： 若 A1胜 An